C/m bất đảng thức

[huythanhhoa]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho $a,b,c>0$; $ab+bc+ca+2abc=1$. Chứng minh
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge4(a+b+c)$
2. Cho $a,b,c>0$; $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh:
$\dfrac{1}{1-ab}+\dfrac{1}{1-bc}+\dfrac{1}{1-ca}\le\dfrac{9}{2}$

 

[manhnguyen0164]

2. $\dfrac{1}{1-ab}-1+\dfrac{1}{1-bc}-1+\dfrac{1}{1-ca}-1+3\le\dfrac{9}{2}$

$\iff \dfrac{ab}{1-ab}+\dfrac{bc}{1-bc}+\dfrac{ca}{1-ca}\le\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{ab}{1-ab}=\dfrac{4ab}{4(1-ab)}\le\dfrac{(a+b)^2}{4-4ab}$ (do $(a+b)^2\ge 4ab$)

$\dfrac{(a+b)^2}{4-4ab}\le\dfrac{(a+b)^2}{2(a^2+b^2+2c^2)}\le\dfrac{a^2}{2(a^2+c^2)}+\dfrac{b^2}{2(b^2+c^2)}$ (bđt Schwarz)

Tương tự, cộng theo vế là ok.