C/m bất đẳng thức

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho $a,b,c>0$; $a+b+c=3$. Chứng minh: $\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\ge\dfrac{3}{2}$

2. Cho $a,b,c>0$; $ab+bc+ca+2abc=1$. Chứng minh
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge4(a+b+c)$

 

[vipboycodon]

1. Ta có: $\dfrac{a}{1+b^2} = a-\dfrac{ab^2}{1+b^2} \ge a-\dfrac{ab}{2}$
$\dfrac{b}{1+c^2} = b-\dfrac{bc^2}{1+c^2} \ge b-\dfrac{bc}{2}$
$\dfrac{c}{1+a^2} = c-\dfrac{ca^2}{1+a^2} \ge c-\dfrac{ac}{2}$
Cộng vế với vế ta có:
$\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2} \ge a+b+c-\dfrac{1}{2}(ab+bc+ac) \ge 3-\dfrac{1}{2}.\dfrac{(a+b+c)^2}{3} = \dfrac{3}{2}$

 

[minhhieupy2000]

Ta có :
$M=\sum{(\dfrac{a}{b^2+1})}=\sum{(a-\dfrac{ab^2}{b^2+1})} \ge \sum{(a-\dfrac{ab^2}{2b})}=\sum{(a-\dfrac{ab}{2})}=a+b+c-\dfrac{ab+bc+ca}{2}$
do $(ab+bc+ca) \le \dfrac{(a+b+c)^2}{3}=3$
\Rightarrow $M\ge \dfra$