C/m bất đẳng thức

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Chứng minh: a) Nếu $a+b=2$ thì $a^4+b^4\ge2$
b) Nếu a,b>0; $a+b\ge2$ thì $a^3+b^3\ge a^2+b^2$
2. Cho a,b>0; a+b=1. Chứng minh $\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}\ge\dfrac{4}{3}$
3. Cho a,b,c thõa mãn $ab+bc+ca=4$. Chứng minh $a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{11}{3}$

 

[riverflowsinyou1]

1) a) AD bđt Cauchy Swảrchz :
$VT \ge \frac{(a^2+b^2)^2}{2} \ge 4$
b) Giả sử $a^2+b^2 > a^3+b^3$
\Rightarrow $(a^2+b^2)(a+b)>2a^3+2b^3$
Hay $-(a-b)^2.(a+b)>0$ (vô lí) \Rightarrow đpcm
2) Cauchy-Swảrchz :
$VT \ge \frac{4}{a+b+2}=VP$
3) Cauchy-Swarchz :
$VT \ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3} \ge \frac{16}{3}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

(b) $x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1) \ge 0$

Áp dụng vào: $a^3+b^3 \ge a^2+b^2 +a+b-2 \ge a^2+b^2$

 

[huythanhhoa]

1.a

Ta chứng minh BĐT:[TEX](x+y)^2[/TEX] \leq 2([TEX]x^2+y^2[/TEX]) (1)
Lại có: a+b=2 \Rightarrow [TEX]2^2=(a^2+b^2)[/TEX]
Áp dụng BĐT (1) ta được:
[TEX]2^2=(a^2+b^2)\leq2(a^2+b^2)\Rightarrow2\leq a^2+b^2[/TEX]
\Rightarrow[TEX]2^2\leq(a^2+b^2)^2[/TEX]
Áp dụng BĐT (1) ta được:
[TEX]2^2\leq(a^2+b^2)\leq2(a^4+b^4)[/TEX]
\Rightarrow2\leq[TEX]a^4+b^4[/TEX] (đpcm)

 

[manhnguyen0164]

Ta chứng minh BĐT:[TEX](x+y)^2[/TEX] \leq 2([TEX]x^2+y^2[/TEX]) (1)
Lại có: a+b=2 \Rightarrow [TEX]2^2=(a^2+b^2)[/TEX]
Áp dụng BĐT (1) ta được:
[TEX]2^2=(a^2+b^2)\leq2(a^2+b^2)\Rightarrow2\leqa^2+b^2[/TEX]
\Rightarrow[TEX]2^2\leq(a^2+b^2)^2[/TEX]
Áp dụng BĐT (1) ta được:
[TEX]2^2\leq(a^2+b^2)\leq2(a^4+b^4)[/TEX]
\Rightarrow2\leq[TEX]a^4+b^4[/TEX] (đpcm)

Tuấn Huy ê chỗ $a+b=2$ \Rightarrow $2^2=(a^2+b^2)$ làm sao được...phải là $2^2=a^2+2ab+b^2$ chứ ==;...nhầm à..?