C/m bất đẳng thức

[baochau15]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. CMR với a,b,c > 0 ta có: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ \geq $\dfrac{9}{a+b+c}$
2. CMR:[tex] \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2} \geq \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c}[/tex]
3. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR:
$\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}$\geq $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Giải rõ ra cho mình nha!
Thanks nhiều!

 

[trinhminh18]

1/c/m bài toán phụ sau:
c/m $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}$> $\dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$
\RightarrowCách Chứng minh:
TRước tiên; ta dễ dàng c/m:
$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}$\geq $\dfrac{(a+b)^2}{x+y}$ (1)
\Leftrightarrow$\dfrac{a^2y+b^2x}{xy}$\geq $\dfrac{a^2+2ab+b^2}{x+y}$
\Leftrightarrow$a^2x^2+b^2y^2+a^2xy+b^2xy$\geq $a^2xy+b^2xy+2abxy$
\Leftrightarrow$a^2x^2+b^2y^2$\geq$2abxy$
\Leftrightarrow$(ax-by)^2$\geq0
\Rightarrow(1) đc c/m
Lại có $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}$\geq$\dfrac{(a+b)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}$\geq$\dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$
\Rightarrow bđt phụ đã đc c/m
Áp dụng bđt phụ trên ta có $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}$\geq $\dfrac{(1+1+1)^2}{a+b+c}$=$\dfrac{9}{a+b+c}$

 

[trinhminh18]

3/ Ta có: $(x+y)^2$\geq$4xy$
\Rightarrow$\dfrac{x+y}{xy}$\geq$\dfrac{4}{x+y}$
\Leftrightarrow$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$\geq $\dfrac{4}{x+y}$ (1)
Áp dụng bđt (1) ta có
$\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}$\geq $\dfrac{4}{2b}=\dfrac{2}{b}$ (2)
$\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{c+a-b}$\geq $\dfrac{4}{2a}=\dfrac{2}{a}$ (3)
$\dfrac{1}{c+a-b}+\dfrac{1}{b+c-a}$\geq $\dfrac{4}{2c}=\dfrac{2}{c}$ (4)
Cộng từng vế (2); (3) ;(4) r chia cả 2 vế cho 2 ta đc đpcm

 

[riverflowsinyou1]

Có $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2} \ge 2.\sqrt{\frac{(ab)^2}{(bc)^2}}=2.\frac{a}{c}$ tương tự như vậy.
\Rightarrow $VT.2 \ge 2.(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a})$ \Rightarrow đpcm

 

[harutanana]

Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số a,b,c ta có:
$\dfrac{a^2}{b^2} +\dfrac{b^2}{c^2}$ ≥2.$\dfrac{a}{c}$
$\dfrac{b^2}{c^2} +\dfrac{c^2}{a^2}$ ≥2$\dfrac{b}{a}$
$\dfrac{c^2}{a^2} +\dfrac{a^2}{b^2}$≥2.$\dfrac{c}{b}$
\Rightarrow $2(\dfrac{a^2}{b^2} +\dfrac{b^2}{c^2} +\dfrac{ c^2}{a^2})$\geq $2(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b})$
\Rightarrow đpcm
CHú ý latex

 

[minhhieupy2000]

1

Áp dụng BĐT Schwart ta có :
$\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$ $\ge$ $\dfrac{(1+1+1)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{a+b+c}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

Cauchy 3 số:

$a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}$

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$

Suy ra $(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \ge 9$

Chuyển $a+b+c$ qua vế phải là có ngay điều cần chứng minh.

 

[transformers123]

1. CMR với a,b,c > 0 ta có: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ \geq $\dfrac{9}{a+b+c}$

Cách quen thuộc: bđt Bunhia =))
Ta có:
$(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \ge (\sqrt{\dfrac{a}{a}}+\sqrt{\dfrac{b}{b}}+\sqrt{ \dfrac{c}{c}})^2$
$\iff (a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \ge 3^2$
$\iff \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{a+b+c}$