C/m bất đẳng thức

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho $a,b,c\ne0$. Chứng minh
a) $a^4+b^4+(\dfrac{a^2b^2+1}{a^2+b^2})^2\ge2$
b) $\dfrac{1}{a^4+b^4+c^4}+\dfrac{2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\ge(\dfrac{3}{a^2+b^2+c^2})^2$

2. Cho $0\le a;b;c\le1$. Chứng minh:
$\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1} \le 2$

 

[transformers123]

b) $\dfrac{1}{a^4+b^4+c^4}+\dfrac{1}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\ge(\dfrac{3}{a^2+b^2+c^2})^2$

Đề hay chỉ có điều sai khi $a=b=c=5$ =))

 

[transformers123]

Nốt câu 1a =))
Dễ thấy các số đều dương
Ta cần c/m:
$a^4+2a^2b^2+b^4+(\dfrac{a^2b^2+1}{a^2+b^2})^2 \ge 2+2a^2b^2$
Thật vậy, ta có:
$VT =a^4+2a^2b^2+b^4+(\dfrac{a^2b^2+1}{a^2+b^2})^2$
$\iff VT=(a^2+b^2)^2+\dfrac{(a^2b^2+1)^2}{(a^2+b^2)^2}$
$\iff VT \ge 2\sqrt{(a^2+b^2)^2.\dfrac{(a^2b^2+1)^2}{(a^2+b^2)^2}}$
$\iff VT \ge 2\sqrt{(a^2b^2+1)^2}$
$\iff VT \ge 2(a^2b^2+1)=2a^2b^2+2\ (\mathfrak{dpcm})$

 

[eye_smile]

1b,$\dfrac{1}{a^4+b^4+c^4}+\dfrac{4}{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2} \ge \dfrac{(1+2)^2}{a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2}=(\dfrac{3}{a^2+b^2+c^2})^2$

 

[eye_smile]

1a,$a^4+b^4+\dfrac{(a^2b^2+1)^2}{(a^2+b^2)^2}=(a^2+b^2)^2+\dfrac{(a^2b^2+1)^2}{(a^2+b^2)^2}-2a^2b^2 \ge 2(a^2b^2+1)-2a^2b^2=2$

 

[manhnguyen0164]

Nốt câu 1a =))
Dễ thấy các số đều dương
Ta cần c/m:
$a^4+2a^2b^2+b^4+(\dfrac{a^2b^2+1}{a^2+b^2})^2 \ge 2+2a^2b^2$
Thật vậy, ta có:
$VT =a^4+2a^2b^2+b^4+(\dfrac{a^2b^2+1}{a^2+b^2})^2$
$\iff VT=(a^2+b^2)^2+\dfrac{(a^2b^2+1)^2}{(a^2+b^2)^2}$
$\iff VT \ge 2\sqrt{(a^2+b^2)^2.\dfrac{(a^2b^2+1)^2}{(a^2+b^2)^2}}$
$\iff VT \ge 2\sqrt{(a^2b^2+1)^2}$
$\iff VT \ge 2(a^2b^2+1)=2a^2b^2+2\ (\mathfrak{dpcm})$

Giải thích hộ mình cái chỗ $\iff VT=(a^2+b^2)^2+\dfrac{(a^2b^2+1)^2}{(a^2+b^2)^2}$
$\iff VT \ge 2\sqrt{(a^2+b^2)^2.\dfrac{(a^2b^2+1)^2}{(a^2+b^2)^2}}$
với bạn ??? ( hỏi ngu xin đừng gạch đá ==')