C/m bất đẳng thức

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c,d>0. Chứng minh $$\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b+d}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+d}+\dfrac{d+b}{d+a}\ge4$$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài dễ thế mà không biết làm à =))

Mẫu: toàn bộ đều dương.

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz:

$VT = (a+c)(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{c+d})+(b+d)(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{d+a}) \ge \dfrac{4(a+c)}{a+b+c+d}+\dfrac{4(b+d)}{a+b+c+d}=4$

 

[minhhieupy2000]

Cho a,b,c,d>0. Chứng minh $$A= \dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b+d}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+d}+\dfrac{d+b}{d+a}\ge4$$

Ta có: $ A = \dfrac{(a+c)^2}{(a+b)(a+c)} + \dfrac{(b+d)^2}{(b+d)(b+c)} + \dfrac{(c+a)^2}{(c+d)(c+a)} + \dfrac{(d+b)^2}{(d+a)(d+b)} $
= $ \dfrac{(a+c)^2}{(a^2+ab+ac+bc)} + \dfrac{(b+d)^2}{(b^2+bc+bd+cd)} + \dfrac{(c+a)^2}{(c^2+ca+cd+ad)} + \dfrac{(d+b)^2}{(d^2+da+db+ab)}$
Áp dụng BĐT Schwart cho 4 hạng tử của A ta có:
$ \dfrac{(a+c)^2}{(a^2+ab+ac+bc)} + \dfrac{(b+d)^2}{(b^2+bc+bd+cd)} + \dfrac{(c+a)^2}{(c^2+ca+cd+ad)} + \dfrac{(d+b)^2}{(d^2+da+db+ab)}$
\geq $ \dfrac{(2[a+b+c+d])^2}{a^2+b^2+c^2+c^2+2(ab+bc+ca+cd)} $ = $\dfrac{4(a+b+c+d)^2}{(a+b+c+d)^2}$ $=4$
Dấu '$=$' \Leftrightarrow $a=c=b=d.$