c/m bất đẳng thức

[hohoo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

x,y khác 0 c/m [TEX] \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\geq\frac{x}{y}+[/TEX]$\frac{y}{x}$

 

[eye_smile]

+$x;y$ trái dấu. BĐT luôn đúng
+$x;y$ cùng dấu
Đặt $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=a$
BĐT trở thành:
${a^2}-2$ \geq $a$
\Leftrightarrow ${a^2}-a-2$ \geq 0
\Leftrightarrow ${(a-\dfrac{1}{2})^2}-2,25$ \geq 0
Do x;y cùng dấu nên a \geq 2
\Rightarrow $a-\dfrac{1}{2}$ \geq 1,5
\Rightarrow ${(a-\dfrac{1}{2})^2}$ \geq ${1,5^2}=2,25$
\Rightarrow ${(a-\dfrac{1}{2})^2}-2,25$ \geq 0 (đpcm)
\Rightarrow bđt luôn đúng với mọi x;y khác 0

 

[congchuaanhsang]

Đặt $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=t$

Cần cm $t^2-2$\geqt \Leftrightarrow $(t+1)(t-2)$\geq 0 (*)

*Nếu x,y cùng dấu thì t \geq2 nên (*) đúng

*Nếu x,y trái dấu thì t \leq -2 nên (*) đúng

Vậy bđt được cm