c/m bất dẳng thức

[uyenphuong8athd]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) cho a,b>= 0, c/m a^3+b^3>= a^2b+b^2a=ab(a+b)
áp dụng c/m
a) 1/a^3+b^3+abc+1/b^3+c^3+abc+1/c^3+a^3+abc=<1/abc với a,b,c>0

b) 1/a^3+b^3+1+1/b^3+c^3+1+1/c^3+a^3+1=<1 với a,b,c>0 và abc=1

c) 1/a+b+1+1/b+c+1+1/c+a+1=<1 với a,b,c>0 và abc=1

2) cho a,b,c là độ dài của 3 cạnh của một tam giác c/m

a) ab+bc+ca=< a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)

b) abc>=(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)

c) 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4>0

d) a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a+b)^2>a^3+b^3+c^3

3) cho a,b,c là độ dài của 3 cạnh của một tam giác c/m

a) 1/a+b+1/b+c+1/c+a cũng là độ dài của 3 cạnh của một tam giác khác

b) 1/a+b-c+1/b+c-a+1/c+a-b> 1/a+1/b+1/c

 

[thaolovely1412]

1)Ta có: [TEX]a^3+ b^3[/TEX] \geq ab(a+b)
\Leftrightarrow[TEX] (a+b)(a^2 - ab + b^2)[/TEX] \geq ab(a+b)
\Leftrightarrow [TEX]a^2 - ab + b^2 -ab[/TEX] \geq 0
\Leftrightarrow[TEX] ( a - b)^2[/TEX] \geq 0 (luôn đúng)
Xảy ra dấu bằng đẳng thức khi a = b
\Rightarrow dpcm
P/s: Lần sau bạn ấn nút Gửi câu hỏi chứ đùng ấn nút tạo chủ đề mới nhé!

 

[casidainganha]

3a
$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$
>=$\frac{4}{a+2b+c}$
>=$\frac{4}{a+c+2(a+c)}$(vì a+c>=b(bdt tam giác)
=$\frac{4}{3(a+c)}$
>=$\frac{4}{4a+4c}$ (vì $\frac{4}{3}$>$\frac{4}{4}$)
=$\frac{1}{a+c}$tương tự ta có đpcm

 

[casidainganha]

3b

$\frac{1}{a+b-c}$+$\frac{1}{b+c-a}$\geq$\frac{4}{2b}$=$\frac{2}{b}$
Chứng minh tươg tự ta rồi cộng 3 kết quả lại ta được đpcm.
Thanks nhé

 

[casidainganha]

2d

Bạn có chắc đề bài đúng không vậy, theo mình VT phải toàn dấu cộng mới lớn hơn được
vì theo bdt tam giác a+b>c và GTTD của a-b<c.Nếu là dấu cộng thì theo bdt tam giác a+b>c
a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a+b)^2>a.$a^2$+b.$b^2$+c.$c^2$
dễ đúng khôngcòn nếu đề bạn đúng thì bạn post lên mình tham khảo nhé&gt;-&gt;-&gt;-&gt;-Dúng thanks nha

 

[casidainganha]

2a

ab+bc+ca=< a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)
Đầu tiên ta có:a^2+b^2+c^2-2ab-2c(b+a)
=(a-b)^2+c^2-2c(b+a)
Theo bdt tam giác (a-b)^2<2c^2 và 2c(b+a)>2c^2.Đến đây dễ rồi
Còn ab+bc+ca=< a^2+b^2+c^2 thì ta có
a^2+b^2-2ab=$(a-b)^2$>=0=>a^2+b^2>=2ab
Tương tự với 2 bdt còn lại rồi sau đó cộng tổng 2 vế 3 bất đẳng thức,chia 2 được điều phải chưg minh.Thaks nha!!!!!!!!!111111111111

 

[casidainganha]

2b

abc>=(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)
Đặt a+b-c=x,b+c-a=y,a+c-b=z
Ta có 2a=a+b-c+a+c-b=x+z
Tương tự 2b=x+y,2z=y+z
Ta có abc=$\frac{(x+y)(x+z)(y+z)}{8}$
xét hiệu abc-(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)
=$\frac{(x+y)(x+z)(y+z)}{8}$-xyz
=$\frac{(x+y)(x+z)(y+z)-8xyz}{8}$
tách phần trong ngoặc ra rồi lợi dụng để PTDTTNT là ra rồi,tổng bình phương hé