c/m bất đẳng thức

[uyenphuong8athd]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) a) a^3+b^3/2>=(a+b/2)^3 với a,b>=0

b)a^4+b^4>=a^3b+ab^3

c) a^4+3>=4a

d) a^3+b^3+c^3>=3abc với a,b,c>0

e) a^4+b^4=< a^6/b^2+b^6/a^2 với a,b#0

f) 1/1+a^2+1/1+b^2>=2/1+ab với ab>=1

g) (a^5+b^5)(a+b)>=(a^4+b^4)( a^2+b^2) với ab>0
2) cho a,b,c,d thuộc R c/m a^2+b^2>=2ab áp dụng c/m:

a) a^4+b^4+c^4+d^4>=4abcd

b) ( a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)>=8abc

c) (a^2+4)(b^2+4)(c^2+4)(d^2+4)>=256abcd

 

[su10112000a]

1/c
$a^4 + 3 = a^4+1+1+1 \ge 4\sqrt[4]{a^4.1.1.1} = 4a$
1/d
$a^3 + b^3 + c^3 \ge 3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}$
$a^3 + b^3 + c^3 \ge 3abc$

 

[su10112000a]

bài 2:
a/ $a^4+b^4+c^4+d^4 \ge 2(a^2b^2+c^2d^2)$
$\rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4 \ge 2.2abcd = 4abcd$
b/ $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \ge 2a.2b.2c = 8abc$
c/ $(a^2+4)(b^2+4)(c^2+4)(d^2+4) \ge 4a.4b.4c.4d = 256abcd$

 

[xuan_nam]

$\dfrac{a^3 + b^3}{2} \ge (\dfrac{a + b}{2})^3$

$\leftrightarrow \dfrac{a^3 + b^3}{2} \ge \dfrac{(a + b)^3}{8}$

$\leftrightarrow \dfrac{4(a^3 + b^3)}{8} \ge \dfrac{(a + b)^3}{8}$

$\leftrightarrow (a + b)^3 \le 4(a^3 + b^3)$

$\leftrightarrow 3ab(a + b) \le 3(a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$\leftrightarrow ab \le a^2 - ab + b^2$ (vì $a + b \ge 0$)

$\leftrightarrow (a - b)^2 \ge 0$ (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b

 

[xuan_nam]

1b :

$a^4 + b^4 \ge a^3b + ab^3$ (1)

$\rightarrow a^4 + b^4 - a^3b - ab^3 \ge 0$

$\rightarrow a(a^3 - b^3) - b^3(a - b) \ge 0$

$\rightarrow (a - b)(a^3 - b^3) = (a - b)^2(a^2 + ab + b^2) \le 0$ (2)

Ta có : $a^2 + ab + b^2 = (a + \dfrac{b}{2})^2 + \dfrac{3b^2}{4} \ge 0$

nên bđt (2) đúng suy ra bđt (1) đúng vì các phép biến đổi trên tương đương.

 

[xuan_nam]

1e :

$a^4 + b^4 \le \dfrac{a^6}{b^2} + \dfrac{b^6}{a^2}$

$\rightarrow (a^4 + b^4)(a^2b^2) \le a^8 + b^8$

...

$\rightarrow - (a^2 - b^2)^2(a^4 + a^2b^2 + b^4) \le 0$ (luôn đúng vì ... )

f;g tương tự

Chỉ cần biến đổi tương đương là ra nhé!