C/m bất đẳng thức

[angellovedevilforever]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.[TEX]a^8+b^8+c^8\geq a^2b^2c^2(ab+bc+ca)[/TEX]
2.[TEX]8(a^4+b^4)\geq(a+b)^4[/TEX]
:khi (46)::khi (46)::khi (46)::khi (46)::khi (46)::khi (46)::khi (46)::khi (46):
hjx khó quá...cả nhà nhank nhank giùm mình nka

 

[hung_ils]

1)[TEX]2(a^8+b^8+c^8)=(a^8+b^8)+(b^8+c^8)+(c^8+a^8)\geq 2a^4b^4+2b^4c^4+2c^4a^4;\\\\ 2(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4)=(a^4b^4+b^4c^4)+(b^4c^4+c^4a^4)+(c^4a^4+a^4b^4)\\\\ \geq 2a^2b^4c^2+2a^2b^2c^4+2a^4b^2c^2= 2a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)\geq 2a^2b^2c^2(ab+bc+ca)\\\\\Rightarrow (a^8+b^8+c^8)\geq 2a^2b^2c^2(ab+bc+ca)[/TEX]
Dấu = xảy ra \Leftrightarrowa=b=c
2)[TEX](a+b)^2\leq 2(a^2+b^2);(a^2+b^2)^2\leq 2(a^4+b^4) \Rightarrow 2(a^4+b^4)\geq (\frac{(a+b)^2}{2})^2\Rightarrow 8(a^4+b^4)\geq (a+b)^4[/TEX]
Dấu = xảy ra \Leftrightarrowa=b=c

 

[khaitien]

1 Ta có BĐT [TEX]x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx[/TEX] (dễ chứng minh )
\Rightarrow[TEX]a^8+b^8+c^8[/TEX] \geq [TEX](ab)^4 + (bc)^4 +(ac)^4[/TEX] \geq [TEX]a(abc)^2+b(abc)2+ c(abc)^2[/TEX] = [TEX]a^2b^2c^2 (a+b+c)[/TEX] (đpcm)
Dấu = xảy ra tại a=b=c
2 Áp dụng BĐT [TEX]a^2+b^2 \geq 2ab[/TEX] ta có
[TEX]a^4+b^4 \geq 2a^2b^2[/TEX]
Cộng [TEX]a^4+b^4[/TEX] vào cả 2 vế của BĐT đã cho ta có
[TEX]2(a^4+b^4) \geq \frac{1}{2} (a+b)^2 [/TEX]
Nhân cả 2 vế của BĐT trên với 4 ta có đpcm
Cảm ơn tui đi bạn .