C/m bất đẳng thức khó!

[bluemountain]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Chứng minh rằng :
$(x+y)^2 \ge (x-1)(y+1)$ với mọi x; y
2. Gỉa sử : $x^2 +4y^2+x+2y+4xy \le 2$
C/m : $-2 \le x+2y \le 1$
3. Tìm m để :
a) $x^2 +4y^2 +2x+my+3 >0$ với mọi x; y
b)$9x^2 + 20y^2+4z^2-12xy+6xz+myz>0$ với mọi x;y;z không đồng thời bằng 0

 

[eye_smile]

1.BĐT \Leftrightarrow $x^2+y^2+xy+y+1-x \ge 0$

\Leftrightarrow $x^2+x(y-1)+y^2+y+1 \ge 0$

\Leftrightarrow $x^2+2x.\dfrac{y-1}{2}+\dfrac{(y-1)^2}{4}+y^2+y+1-\dfrac{(y-1)^2}{4} \ge 0$

\Leftrightarrow $(x+\dfrac{y-1}{2})^2+\dfrac{3(y+1)^2}{4} \ge 0$ (luôn đúng)

\Rightarrow đpcm.

3.

a/ $x^2+2x+4y^2+my+3>0$ với mọi $x;y$

\Leftrightarrow $4-4(4y^2+my+3)<0$ với mọi $y$

\Leftrightarrow $4y^2+my+2>0$ với mọi $y$

\Leftrightarrow $m^2-4.4.2<0$

\Leftrightarrow ...

b/TT

Biến đổi thành: $(3x-2y+z)^2+16y^2+3z^2+(m+4)yz>0$...

 

[leminhnghia1]

Giải:

1. $(x+y)^2 \ge (x-1)(y+1)$

$\iff x^2+2xy+y^2 \ge xy+x-y-1$

$\iff x^2+xy+y^2-x+y+1 \ge 0$

$\iff x^2+x(y-1)+y^2+y+1 \ge 0 \ (1)$

Xét $\Delta=-3(y+1)^2 \le 0$ Mà $a=1 >0$ nên (1) luôn đúng.

Vậy......
2, $x^2+4y^2+4xy+x+2y \le 2$

$\iff (x+2y)^2+(x+2y)-2 \le 0$

$\iff (x+2y-1)(x+2y+2) \le 0$

$\iff -2 \le x+2y \le 1$