C/m bất đẳng thức khó cho hsg<img src="http://diendan.hocmai.vn/images/eyeeasy/buttons/DaXN.png" bor

M

manhnguyen0164

V

vipboycodon

1. $\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}$ = $\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}$
$\ge \dfrac{4}{2ab+a^2+b^2}+\dfrac{1}{2.\dfrac{(a+b)^2}{4}} = 4+2 = 6$
Chứ kĩ của bạn hơi quá rồi đó , nếu giỏi sao bạn không làm hết đi.
 
T

trinhminh18

bài 3

Ta có: $(x+\dfrac{1}{x})^2+(y+\dfrac{1}{y})^2$\geq12,5
\Leftrightarrow$x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+4$\geq12,5
\Leftrightarrow$x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}$\geq8,5 (1)
Dễ dàng c/m $2(x^2+y^2)$\geq$(x+y)^2=1$
\Rightarrow$x^2+y^2$\geq$\dfrac{1}{2}=0,5$
Lại có : $(x+y)^2$\geq$4xy$
\Rightarrow$xy$\leq$\dfrac{(x+y)^2}{4}=\dfrac{1}{4}$
\Rightarrow$\dfrac{2}{xy}$\geq8
Mà $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}$\geq$\dfrac{2}{xy}$\geq8
\Rightarrow$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+x^2+y^2$\geq8,5 (2)
Từ (1);(2)\Rightarrowđpcm
 
H

huynhbachkhoa23

Bài 2:

$\dfrac{3}{a^2+b^2}+\dfrac{3}{2ab}+\dfrac{1}{2ab} \ge \dfrac{12}{(a+b)^2}+\dfrac{2}{(a+b)^2} \ge 14$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\dfrac{1}{2}$

Bài 3:

Áp dụng liên tiếp BDT Cauchy-Schwarz:

$(x+\dfrac{1}{x})^2+(y+\dfrac{1}{y})^2 \ge \dfrac{(x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})^2}{2} \ge \dfrac{(1+\dfrac{4}{x+y})^2}{2}=\dfrac{25}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{2}$
 
M

minhhieupy2000

Bài 3


Ta có: $ A = x^2 + y^2 +\dfrac1{x^2} + \dfrac1{y^2} +4 =[ ( x^2 +\dfrac{1}{16y^2} ) + (y^2 +\dfrac{1}{16x^2} ) ]+ \dfrac{15}{16}( \dfrac1{x^2} + \dfrac1{y^2}) +4$
\geq $ (2\sqrt{x^2.\dfrac{1}{16y^2}} + 2\sqrt{y^2.\dfrac{1}{16x^2}}) + \dfrac{15}{16}.\dfrac{2}{xy} + 4 = 2(\dfrac{x}{4y} + \dfrac{y}{4x}) + \dfrac{15}{8xy} + 4$
(Dấu $=$ xảy ra \Leftrightarrow x=y=0.5)
\geq $ 2.2.\dfrac{\sqrt{xy}}{4\sqrt{xy}} + \dfrac{15}{8.0,5.0,5} +4 = 1 + 7,5 +4 = 12,5$
Dấu '$=$' xảy ra \Leftrightarrow $x=y=0,5$.
Vậy A \geq 12,5 , dấu '$=$' xảy ra \Leftrightarrow $x=y=0,5$.



 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom