C/m bất đẳng thức bằng phương pháp c/m bất đẳng thức riêng

T

trinhminh18

CHém câu 2 trước

Ta c/m: $\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}$\geq$\dfrac{2a-b}{3}$ (1)
\Leftrightarrow$3a^3$\geq$(2a-b)(a^2+b^2+ab)$
\Leftrightarrow$a^3$\geq$ab^2+ba^2-b^3$
\Leftrightarrow$a^3+b^3-ab(a+b)$\geq0
\Leftrightarrow$(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)$\geq0
\Leftrightarrow$(a+b)(a-b)^2$\geq0 (hiển nhiên đúng)
C/m tuơng tự đc $\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}$\geq$\dfrac{2b-c}{3}$ (2)
$\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ac}$\geq$\dfrac{2c-a}{3}$ (3)
Cộng từng vế (1);(2);(3)\Rightarrow đpcm
 
V

vipboycodon

1. Theo bdt cô-si ta có:
$\dfrac{a^3}{b}+ab \ge 2a^2$ ; $\dfrac{b^3}{c}+bc \ge 2b^2$ ; $\dfrac{c^3}{a}+ac \ge 2c^2$
Cộng vế với vế ta có :
$\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ac \ge 2(a^2+b^2+c^2)$
Mặt khác : $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ac$ (cái này dễ cm lắm)
=> đpcm
 
Last edited by a moderator:
H

huynhbachkhoa23

trinhminh18 said:
Ta c/m: $\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}$\geq$\dfrac{2a-b}{3}$ (1)
\Leftrightarrow$3a^3$\geq$(2a-b)(a^2+b^2+ab)$
\Leftrightarrow$a^3$\geq$ab^2+ba^2-b^3$
\Leftrightarrow$a^3+b^3-ab(a+b)$\geq0
\Leftrightarrow$(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)$\geq0
\Leftrightarrow$(a+b)(a-b)^2$\geq0 (hiển nhiên đúng)
C/m tuơng tự đc $\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}$\geq$\dfrac{2b-c}{3}$ (2)
$\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ac}$\geq$\dfrac{2c-a}{3}$ (3)
Cộng từng vế (1);(2);(3)\Rightarrow đpcm
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bạn trinhminh18 đặt ra cái BDT $\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab} \ge \dfrac{2a-b}{3}$

Vậy, bạn có tự hỏi là tại sao lại ra cái BDT đấy không?

Nếu bạn không biết vì sao lại ra được cái BDT đấy thì mình xin chỉ luôn cách tìm. Tuy nhiên cách tìm ra BDT này không phải dễ vì trình độ lớp 8 chưa biết gì đến đạo hàm hoặc phương pháp UCT.

Ta đặt $f(a)=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}$ là một hàm số theo $a$, và $b$ là tham số.

Theo phương pháp tiếp tuyến:

Ta tính đạo hàm cấp 1 của $f(a)$:

$f'(a)=\dfrac{3a^2(a^2+b^2+ab)-a^3(2a+b)}{(a^2+b^2+ab)^2}$

Dự đoán điểm rơi của $BDT$ tại $a=b=c$, ta viết tiếp tuyến của $f(a)$ tại $a_0=b$:

Hệ số góc tiếp tuyến: $k=f'(b)=\dfrac{3b^2(b^2+b^2+b^2)-b^3(2b+b)}{(b^2+b^2+b^2)^2}=\dfrac{2}{3}$

$f(b)=\dfrac{b^3}{3b^2}=\dfrac{b}{3}$

Giờ ta có BDT $\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab} \ge \dfrac{2}{3}(a-b)+\dfrac{b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}$

Ghép bài của mình với bài của trinhminh18 lại thì ra các bước nháp + giải hoàn chỉnh cho bài này.

Và lưu ý, viết tiếp tuyến thế này không phải bao giờ cũng đúng.
 
H

huynhbachkhoa23

Bài 1:

Vì vai trò của $a,b,c$ như nhau, ta giả sử $a\ge b \ge c \rightarrow \dfrac{1}{a} \le \dfrac{1}{b} \le \dfrac{1}{c}$ và $a^3 \ge b^3 \ge c^3$

Hoán vị vòng quanh:

$a^2+b^2+c^2=\dfrac{a^3}{a}+\dfrac{b^3}{b}+\dfrac{c^3}{c} \le \dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}$

Lại có $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$ (Chứng minh bằng biến đổi tương đương hoặc hoán vị vòng quanh đều được)

Suy ra điều cần chứng minh.
 
T

transformers123

huynhbachkhoa23 said:
Bài 1:

Vì vai trò của $a,b,c$ như nhau, ta giả sử $a\ge b \ge c \rightarrow \dfrac{1}{a} \le \dfrac{1}{b} \le \dfrac{1}{c}$ và $a^3 \ge b^3 \ge c^3$

Hoán vị vòng quanh:

$a^2+b^2+c^2=\dfrac{a^3}{a}+\dfrac{b^3}{b}+\dfrac{c^3}{c} \le \dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}$

Lại có $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$ (Chứng minh bằng biến đổi tương đương hoặc hoán vị vòng quanh đều được)

Suy ra điều cần chứng minh.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Cách khác:
$\dfrac{a^3}{b} + \dfrac{b^3}{c} + \dfrac{c^3}{a} = \dfrac{a^4}{ab} + \dfrac{b^4}{bc} + \dfrac{c^4}{ca} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2} =a^2+b^2+c^2$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
 
M

minhhieupy2000

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số k âm ta có:

$ \dfrac{a^3}{b} + b^2 +b^2 $ \geq $3\sqrt[3]{\dfrac{a^3b^2b^2}{b}} = 3ab $
Tương tự ta thu được: $ \dfrac{b^3}{c} + c^2 +c^2 $ \geq $3bc $ $ ; $ $ \dfrac{c^3}{a} + a^2 +a^2 $ \geq $3ca $ .
Suy ra: $ \dfrac{a^3}{b} + \dfrac{b^3}{c} + \dfrac{c^3}{a} + 2(a^2+b^2+c^2) $ \geq $ 3( ab+bc+ca)$.
Mà $ 2(a^2+b^2+c^2)$ \geq $2(ab+bc+ca) $
\Rightarrow $ \dfrac{a^3}{b} + \dfrac{b^3}{c} + \dfrac{c^3}{a} $ \geq $ ab+bc+ca$
 
Last edited by a moderator:
T

transformers123

trinhminh18 said:
Ta c/m: $\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}$\geq$\dfrac{2a-b}{3}$ (1)
\Leftrightarrow$3a^3$\geq$(2a-b)(a^2+b^2+ab)$
\Leftrightarrow$a^3$\geq$ab^2+ba^2-b^3$
\Leftrightarrow$a^3+b^3-ab(a+b)$\geq0
\Leftrightarrow$(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)$\geq0
\Leftrightarrow$(a+b)(a-b)^2$\geq0 (hiển nhiên đúng)
C/m tuơng tự đc $\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}$\geq$\dfrac{2b-c}{3}$ (2)
$\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ac}$\geq$\dfrac{2c-a}{3}$ (3)
Cộng từng vế (1);(2);(3)\Rightarrow đpcm
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Suy nghĩ ra câu này lâu rồi mà quên đăng =))
Ta có:
$\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{a^2b+ab^2}{a^2+b^2+ab} \ge a-\dfrac{ab(a+b)}{2ab+ab} = a-\dfrac{a+b}{3}$
Chứng minh tương tự, ta có: $\begin{cases}\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc} \ge b-\dfrac{b+c}{3}\\\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca} \ge c-\dfrac{c+a}{3}\end{cases}$
Cộng các vế của các bđt cùng chiều, ta có:
$\sum \dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab} \ge a+b+c-\dfrac{a+b+b+c+c+a}{3}$
$\sum \dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab} \ge \dfrac{a+b+c}{3}$
Lâu rồi không dùng dấu $"\sum"$ =))
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom