Toán 9 Bunyakovsky,cauchy ..

[Lemon candy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1 ) Với các số thực a,b> 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P=[tex]\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}[/tex]
2)Cho a b là các số thực dương làm theo phương trình sau có nghiệm [tex]x^2-2(a-2b)x+a^2+b^2=0[/tex]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=[tex]\frac{ab}{a^2-2ab+3b^2}[/tex]
3)Cho a b là các số dương thỏa mãn [tex]a^2+b^2=a+b[/tex]
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=[tex]a^4+b^4+\frac{2020}{(a+b)^2}[/tex]
B1 em dùng Bun-> P[tex]\geq \frac{(a+b)^2}{a+b-2}[/tex] rồi ko biết làm sao nữa ,mong @iceghost giúp e !

 

[Kaito Kidㅤ]

B1 xài cái [tex]\frac{a^2}{a-1}\geq 4[/tex] ấy , biến đổi tương đương là ra
[tex]P\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{a-1}.\frac{b^2}{b-1}}\geq 2\sqrt{4^2}=8[/tex]
"=" khi a=b=2
mấy bài sau mời các bạn tiếp @@ mình ngại

 

[Lemon candy]

B1 xài cái [tex]\frac{a^2}{a-1}\geq 4[/tex] ấy , biến đổi tương đương là ra
[tex]P\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{a-1}.\frac{b^2}{b-1}}\geq 2\sqrt{4^2}=8[/tex]
"=" khi a=b=2
mấy bài sau mời các bạn tiếp @@ mình ngại

cái ...>=4 đó lấy đâu ra vậy ,hay phải cm ?

 

[Lê.T.Hà]

Để khỏi băn khoăn, bạn đặt [tex](a-1;b-1)=(x;y)>0[/tex] đi, lúc đó bài toán trở thành 1 BĐT bình thường

[tex](a-2b)^2-a^2-b^2\geq 0\Rightarrow 3b^2-4ab\geq 0\Rightarrow 3b\geq 4a\Rightarrow t= \frac{b}{a}\geq \frac{4}{3}[/tex]
[tex]P>0\Rightarrow \frac{1}{P}=\frac{a^2-ab+2b^2}{ab}=2\frac{b}{a}+\frac{a}{b}-1=2t+\frac{1}{t}-1=\left (\frac{9t}{16}+\frac{1}{t} \right )+\frac{23t}{16}-1\geq \frac{29}{12}\Rightarrow P\leq \frac{12}{29}[/tex]
[tex]a+b=a^2+b^2\geq \frac{1}{2}(a+b)^2\Rightarrow a+b\leq 2 \Rightarrow t=(a+b)^2 \leq 4[/tex]
[tex]P\geq \frac{1}{8}(a+b)^4+\frac{2020}{(a+b)^2}=\frac{1}{8}t^2+\frac{2020}{t}=\left ( \frac{t^2}{8}+\frac{8}{t}+\frac{8}{t} \right )+\frac{2004}{t}\geq ...[/tex]

 

[Wweee]

Để khỏi băn khoăn, bạn đặt [tex](a-1;b-1)=(x;y)>0[/tex] đi, lúc đó bài toán trở thành 1 BĐT bình thường

[tex](a-2b)^2-a^2-b^2\geq 0\Rightarrow 3b^2-4ab\geq 0\Rightarrow 3b\geq 4a\Rightarrow t= \frac{b}{a}\geq \frac{4}{3}[/tex]
[tex]P>0\Rightarrow \frac{1}{P}=\frac{a^2-ab+2b^2}{ab}=2\frac{b}{a}+\frac{a}{b}-1=2t+\frac{1}{t}-1=\left (\frac{9t}{16}+\frac{1}{t} \right )+\frac{23t}{16}-1\geq \frac{29}{12}\Rightarrow P\leq \frac{12}{29}[/tex]
[tex]a+b=a^2+b^2\geq \frac{1}{2}(a+b)^2\Rightarrow a+b\leq 2 \Rightarrow t=(a+b)^2 \leq 4[/tex]
[tex]P\geq \frac{1}{8}(a+b)^4+\frac{2020}{(a+b)^2}=\frac{1}{8}t^2+\frac{2020}{t}=\left ( \frac{t^2}{8}+\frac{8}{t}+\frac{8}{t} \right )+\frac{2004}{t}\geq ...[/tex]

) câu 2 bạn nhầm đề r à ???

 

[shorlochomevn@gmail.com]

1 ) Với các số thực a,b> 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P=[tex]\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}[/tex]
2)Cho a b là các số thực dương làm theo phương trình sau có nghiệm [tex]x^2-2(a-2b)x+a^2+b^2=0[/tex]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=[tex]\frac{ab}{a^2-2ab+3b^2}[/tex]
3)Cho a b là các số dương thỏa mãn [tex]a^2+b^2=a+b[/tex]
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=[tex]a^4+b^4+\frac{2020}{(a+b)^2}[/tex]
B1 em dùng Bun-> P[tex]\geq \frac{(a+b)^2}{a+b-2}[/tex] rồi ko biết làm sao nữa ,mong @iceghost giúp e !

2, [tex]x^2-2(a-2b)x+a^2+b^2=0\\\\ \Delta '=(a-2b)^2-(a^2+b^2)\geq 0\\\\ <=> ... <=> b\geq \frac{4a}{3} <=> \frac{b}{a}\geq \frac{4}{3}[/tex]
[tex]P=\frac{ab}{a^2-2ab+3b^2}\\\\ =\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{3b}{a}-2}\\\\ =\frac{1}{3t+\frac{1}{t}-2} (t=\frac{b}{a}\geq \frac{4}{3})\\\\ =\frac{t}{3t^2-2t+1}\leq \frac{4}{11}\\\\ <=> 12t^2-8t+4\geq 11t\\\\ <=> (3t-4).(4t-1)\geq 0 (đúng vì t\geq \frac{4}{3})[/tex]
3, áp dụng Cauchy có:
[tex]a+b=a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}\\\\ => a+b\leq 2[/tex]
[tex]P=a^4+b^4+\frac{2020}{(a+b)^2}\\\\ \geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}+\frac{2020}{(a+b)^2}=\frac{(a+b)^2}{2}+\frac{8}{(a+b)^2}+\frac{2012}{(a+b)^2}\\\\ => P\geq 4+\frac{2012}{4}=507 (a+b\leq 2)[/tex]
dấu "=" <=> a=b=1