Bunhiacopski

[ontaptonghop]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR:
1.$|ab+bc+ca|$\leq $a^2+b^2+c^2$
2. Cho $a,b,c$ thuộc R cmr:
$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}$ \leq $\frac{a.}{b.}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$
3.Cho a,b,c thuộc R thoả mãn $a^3+b^3=2$.
cmr: $a^2+b^2$ \leq 2

 

[vipboycodon]

1.
Cm: $|ab+bc+ac| \le |ab|+|bc|+|ac|$
=> BĐT <=> $a^2+b^2+c^2 \ge |ab|+|bc|+|ac|$
<=> $a^2-2|ab|+b^2+b^2-2|bc|+c^2+a^2-2|ac|+c^2 \ge 0$
<=> $|a-b|^2+|b-c|^2+|a-c|^2 \ge 0$ (đúng)

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2:

Hình như bị ngược chiều thì phải

Đặt $x=\dfrac{a}{b}; y=\dfrac{b}{c}; z=\dfrac{c}{a}$

$\rightarrow xyz = 1$

Cần chứng minh $x^2+y^2+z^2 \ge x+y+z$

$\leftrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2 +x^2+y^2+z^2\ge 3$

$\leftrightarrow x^2+y^2+z^2 \ge 3$

BDT trên đúng vì $x^2+y^2+z^2 \ge 3\sqrt[3]{xyz}^2=3$

Vậy BDT đầu đúng.

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3:

Mình nghĩ đề thiếu $x,y>0$

Theo đề ta có $x,y\in (0;2)$

$2t^3-3t^2+1=(t+1)(t-1)^2 \ge 0$ với mọi $t\in (0;2)$

Áp dụng vào: $x^2+y^2 \le \dfrac{2}{3}(x^3+y^3)+\dfrac{2}{3}=2$

Hoặc ta có thể:

Áp dụng BDT Holder: $x^3+y^3 \ge \dfrac{(x+y)^3}{4}$

$\rightarrow x+y \le 2$

Áp dụng BDT Bunyakovsky: $x^2+y^2 \le \sqrt{(x^3+y^3)(x+y)} \le 2$

* Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$

 

[ontaptonghop]

1.
Cm: $|ab+bc+ac| \le |ab|+|bc|+|ac|$
=> BĐT <=> $a^2+b^2+c^2 \ge |ab|+|bc|+|ac|$
<=> $a^2-2|ab|+b^2+b^2-2|bc|+c^2+a^2-2|ac|+c^2 \ge 0$
<=> $|a-b|^2+|b-c|^2+|a-c|^2 \ge 0$ (đúng)

Mình bình phương 2 vế sau đó dùng bdt BCS đc ko ************************************************************************************?????????????

 

[ontaptonghop]

Bài 3:

Mình nghĩ đề thiếu $x,y>0$

Theo đề ta có $x,y\in (0;2)$

$2t^3-3t^2+1=(t+1)(t-1)^2 \ge 0$ với mọi $t\in (0;2)$

Áp dụng vào: $x^2+y^2 \le \dfrac{2}{3}(x^3+y^3)+\dfrac{2}{3}=2$

Hoặc ta có thể:

Áp dụng BDT Holder: $x^3+y^3 \ge \dfrac{(x+y)^3}{4}$

$\rightarrow x+y \le 2$

Áp dụng BDT Bunyakovsky: $x^2+y^2 \le \sqrt{(x^3+y^3)(x+y)} \le 2$

* Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$

t là cái gì vậy bạn
Giải thích giúp mk với ************************************************************************************?????

 

[huynhbachkhoa23]

t là cái gì vậy bạn
Giải thích giúp mk với ************************************************************************************?????

Đặt $t$ ra để chứng minh được cái BDT tổng quát thôi .

 

[vipboycodon]

Mình bình phương 2 vế sau đó dùng bdt BCS đc ko ************************************************************************************?????????????

Chắc bạn làm kiểu này đúng không:
Theo bdt bunhia ta có: $|ab+bc+ac| \le \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)} = a^2+b^2+c^2$

 

[minhhieupy2000]

CMR:

2. Cho $a,b,c$ thuộc R cmr:
$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}$ \leq $\frac{a.}{b.}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

C/m phản đề : Cho a=1; b=2; c=3 thấy ngay đề sai sửa đề lại nhá bạn!!!