BT khó

[matthamthcs]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Tìm các số nguyên tố p và q sao cho $p^2 -pq +q^2$ và $p^2 + pq +2q^2$ nguyên tố cùng nhau
2.CMR: 5^(3n+2) + 2^(2n+3) chia hết cho 11 với mọi n \forall N

 

[lp_qt]

Câu 2

giả sử mệnh đề đúng với $n=m$. Khi đó: $5^{3m+2} + 2^{2m+3} \vdots 11$

ta phải chứng minh mệnh đề đúng với $n=m+1$. Tức là : $ 5^{3(m+1)+2} + 2^{2(m+1)+3} \vdots 11$

thật vậy:

$5^{3(m+1)+2} + 2^{2(m+1)+3}=5^3.(5^{3m+2} + 2^{2m+3})+2^{2m+3}.(2^2-5^3)=5^3.(5^{3m+2} + 2^{2m+3})-121.2^{2m+3} \vdots 11$​

\Rightarrow $đpcm$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2.
$5^{3n+2}+2^{2n+3}=25.125^{n}+8.4^{n}$
Chú ý rằng $25\equiv -8, 125\equiv 4 \pmod{11}$ nên ta có điều phải chứng minh.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1.
Nếu $p=q$ thì $pq\mid p^2-pq+q^2, p^2+pq+2q^2$ không thỏa mãn.
Trường hợp còn lại ta sẽ chứng minh là điều mà chúng ta cần. Chú ý với trường hợp này thì $(p,q)=1$
Ở đây ta đặt $d=(p^2-pq+q^2, p^2+pq+2q^2)$
Dễ dàng suy ra $d\mid 2p+q$ và $d\mid 3q+2p$. Do đó $d\mid 4(p+q)$
$p^2-pq-q^2$ luôn là số lẻ nên $d\mid p+q$ nên $d\mid p^2+q^2+2pq$
Suy ra $d\mid 3pq$. Do đó $d\mid 3$
Ta có $p,q\equiv \pm 1 \pmod{3}$ nên $p^2-pq+q^2\equiv 2-pq\pmod{3}$
Nếu $pq\equiv -1\pmod{3}$ thì $p^2+pq+2q^2\equiv 2\pmod{3}$
Do đó $d\ne 3$. Vậy thì $d=1$
Ta có kết luận: $p,q$ là các số nguyên tố khác nhau.