BT khó trong đề thi HSG

[matthamthcs]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. CMR: $\dfrac{1}{a+b} +\dfrac{1}{b+c} +\dfrac{1}{c+a} +\dfrac{1}{2\sqrt[3]{abc}} \ge \dfrac{a+b+c+\sqrt[3]{abc}}{(a+b)(b+c)(b+c)}$

2.Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất với mỗi số nguyên lẻ a mà $a^2 \le n$
thì n chia hết cho a

3.Cho phương trình: $x^4 +2mx^2 +4 =0$. Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn: $x_1^4 +x_2^4 +x_3^4 +x_4^4 =32$

4. Giải hê phương trình
$2x^2 +xy -y^2 -5x +y +2 =0$
$x^2 +y^2 +x +y +4 =0$

5. Số thực x thay đổi và thỏa mãn điều kiện $x^2 + (3 -x)^2 \ge5$ tìm Min của biểu thức
$x^4 +(3 -x)^4 +6x^2(3 -x)^2$

 

[eye_smile]

5,Đặt y=3-x

\Rightarrow $x+y=3;x^2+y^2 \ge 5$

\Rightarrow $A=x^4+y^4+6x^2y^2$

Ta có: $x^2+y^2+4(x+y)^2 \ge 5+4.3^2=41$

\Leftrightarrow $5(x^2+y^2)+4.2xy \ge 41$

$16(x^2+y^2)^2+25.(2xy)^2 \ge 40(x^2+y^2).2xy$

\Rightarrow $41[(x^2+y^2)^2+(2xy)^2] \ge [5(x^2+y^2)+4.2xy]^2 \ge 41^2$

\Leftrightarrow $(x^2+y^2)^2+(2xy)^2 \ge 41$

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $x=1$ hoặc $x=2$

 

[chuotbachkute]

3. Đặt $x^2$=t (t>=0)
phương trình (1) trở thành $t^2 +2mt+4=0$ (2)
phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt cùng dương
khi và chỉ khi $\delta $ >0, S >0, P>0
khi và chỉ khi m < -2
Ta có
$x_1^4 +x_2^4 +x_3^4 +x_4^4 =32$

$x_1^4 +x_2^4 = (x_1^2 +x_2^2)^2 - 2x_1^2.x_2^2 = ( (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2))^2 - 2x_1^2.x_2^2 ( * )$
Ta có: $x_1+x_2 = 0 và x_1.x_2=-t_1 (**)$
tương tự với $x_3 và x_4$
Từ ( * ) và (**) suy ra $x_1^4 +x_2^4 = 2x_1^2x_2^2 = 2t_1^2$
Tương tự, $x_3^4 +x_4^4=2t_2^2$
suy ra $t_1^2 +t_2^2 = 16 => 4m^2 -8 =16 => m^2 =6 => m=-\sqrt{6} vì m<-2$

 

[lp_qt]

Câu 4

$2x^2-y^2+xy-5x+y+2=0$

\Leftrightarrow $(2x-y-1)(x+y-2)=0$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}y=2x-1 & \\ y=2-x & \end{bmatrix}$

thay vào pt 2 là xong.

 

[lp_qt]

Câu 1

Tham khảo tại đây