BT khó trong đề thi HSG

[matthamthcs]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Lập đa thức có hệ số nguyên nhận $x=\sqrt{2}+ \sqrt[3]{3}$ làm nghiệm

2. Trong một lớp có 36 bàn học sinh cá nhân xếp thành 4 hàng và 9 cột (các hàng được đánh số từ 1 đến 4, các cột được đánh từ 1 đến 9). Sĩ số học sinh của lớp là 35. Sau một học kỳ, cô giáo chủ nhiệm xếp lại chỗ ngồi cho các bạn học sinh trong lớp, giả sử trước thời điểm chuyển chỗ, bạn ngồi ở hàng thứ m, cột n và sau khi chuyển chỗ, bạn ngồi hàng thứ am cột thứ an, ta gắn cho bạn một số nguyên (am + an) - (m + n) CMR tổng của 35 số nguyên được gắn cho 35 học sinh không vượt quá 11

3.CMR:nếu phương trình $x^4 + ax^3 + bx^2 + ax + 1 =0$ có nghiệm thì $5(a^2 + b^2) \ge 4$

4.Trên màn hình có 15 viên bi màu xanh, 17 viên đỏ, 22 viên bi vàng. Một học sinh thực hiện trò chơi cho hai viên bi khác màu chạm nhau thì cả hai đổi sang màu thứ ba (trong các màu xanh, đỏ, vàng). Hỏi có khả năng để sau một số làn chuyển mà được tất cả các viên bi đồng màu không?

5.Cho đường tròn tâm O, bán kính R, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm bất kì trên cung AD. Nối EC cắt OA tại M, nối EB cắt OD tại N. CMR: tích
OM/AM . ON/DN là một hằng số. Rồi suy ra GTNN của tổng OM/AM + ON/DN, khi đó cho biết vị trí điểm E?

 

[quynhphamdq]

II.
Nhận xét giả sử lớp đó có đủ 36 học sinh cho 36 cái bàn, khi đó mỗi bạn bất kì sẽ có tọa độ (x,y) với x là hàng thứ x, và y là cột thứ y
Mà lớp đó thiếu một bạn nên thừa một bàn, giả sử bạn đó có tọa độ là (k,q) và sau khi chuyển thì tọa độ cái thừa là (ak,aq)
Tổng tất cả tọa độ các bàn là
1.(1+2+3+4)+2.(1+2+3+4)+...+9.(1+2+3+4)=(1+2+...+9).(1+2+3+4)=450
Như vậy ∑(am+an)=450−(ak+aq) và ∑m+n=450−(k+q)
Suy ra ∑(am+an)−(m+n)=(450−(ak+aq))−(450−(k+q))=(k+q)−(ak+aq)≤9+4−(1+1)=11
Suy ra đpcm________________________________

 

[lp_qt]

Câu 3

Giả sử $x_0$ là nghiệm của phương trình \Rightarrow $x_0 \ne 0$

$x_0^4+ax_0^3+bx_0^2+ax_0+1=0$

$\Longleftrightarrow x_0^2+\dfrac{1}{x_0^2}+a(x_0+\dfrac{1}{x_0})+b=0$

$\Longleftrightarrow (x_0+\dfrac{1}{x_0})^2+a.(x_0+\dfrac{1}{x_0})+b-2=0$

đặt $t=x_0+\dfrac{1}{x_0}$

$\Longrightarrow t^2=x_0^2+\dfrac{1}{x_0^2}+2\ge 4$

ta có: $t^2+at+b-2=0$

$\Longleftrightarrow 2-t^2=at+b$

$(2-t^2)^2=(at+b)^2 \le (a^2+b^2)(t^2+1)$

$\Longrightarrow a^2+b^2 \ge \dfrac{(2-t^2)^2}{t^2+1}$

đặt $t^2=y \Longrightarrow y \ge 4$

$\Longrightarrow a^2+b^2 \ge \dfrac{(2-y)^2}{y+1}$

$P=\dfrac{(2-y)^2}{y+1}=\dfrac{y^2-4y+4}{y+1}=\dfrac{(y^2+2y+1)-6(y+1)+9}{y+1}=(y+1)+\dfrac{9}{y+1}-6$

$=\dfrac{9}{y+1}+\dfrac{9}{25}(y+1)+\dfrac{16}{25}(y+1)-6$

$\ge 2.\sqrt{\dfrac{9}{y+1}.\dfrac{9}{25}(y+1)}+\dfrac{16}{25}(4+1)-6 \ge \dfrac{4}{5}$

$\Longrightarrow a^2+b^2 \ge \dfrac{4}{5}$

 

[dien0709]

4.Trên màn hình có 15 viên bi màu xanh, 17 viên đỏ, 22 viên bi vàng. Một học sinh thực hiện trò chơi cho hai viên bi khác màu chạm nhau thì cả hai đổi sang màu thứ ba (trong các màu xanh, đỏ, vàng). Hỏi có khả năng để sau một số làn chuyển mà được tất cả các viên bi đồng màu không?

Theo luật chơi,ta thấy khi 1 màu bị mất 1 viên thì 1 trong 2 màu còn lại sẽ nhận 1 trong 2 trường hợp sau:

-Hoặc mất 1 viên

-Hoặc được thêm 2 viên

TH 1 để thỏa ycbt luc đầu cần có 2 màu có số bi bằng nhau

TH 2 bên mất 1 , bên được 2=> chênh lệch là 3=>để thỏa ycbt cần chênh lệch lúc đầu là bội của 3

KL: với đề bài trên không có khả năng nào thỏa ycbt

Bài 1:$x=\sqrt[]{2}+\sqrt[3]{3}=>x- \sqrt[]{2}=\sqrt[3]{3}$

=>$x^3-3x^2\sqrt{2}+6x-2\sqrt{2}=3=>x^3+6x-3=\sqrt{2}(3x^2+2)$

$ycbt=>x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1=0$

 

[khai221050]

Câu 5:
http://thuviengiaoan.vn/giao-an/de-thi-chon-hoc-sinh-gioi-cap-tinh-mon-toan-9-19318/
(Bài 3 đề 2)