BT khó trong đề thi HSG

[matthamthcs]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

3. CMR: nếu phương trình $x^4 + ax^3 + bx^2 + ax + 1 =0$ có nghiệm thì
$5(a^2 + b^2) \ge 4$

4.Trên màn hình có 15 viên bi màu xanh, 17 viên đỏ, 22 viên bi vàng. Một học sinh thực hiện trò chơi cho hai viên bi khác màu chạm nhau thì cả hai đổi sang màu thứ ba (trong các màu xanh, đỏ, vàng). Hỏi có khả năng để sau một số làn chuyển mà được tất cả các viên bi đồng màu không?

 

[lp_qt]

Câu 3

Giả sử $x_0$ là nghiệm của phương trình \Rightarrow $x_0 \ne 0$

$x_0^4+ax_0^3+bx_0^2+ax_0+1=0$

$\Longleftrightarrow x_0^2+\dfrac{1}{x_0^2}+a(x_0+\dfrac{1}{x_0})+b=0$

$\Longleftrightarrow (x_0+\dfrac{1}{x_0})^2+a.(x_0+\dfrac{1}{x_0})+b-2=0$

đặt $t=x_0+\dfrac{1}{x_0}$

$\Longrightarrow t^2=x_0^2+\dfrac{1}{x_0^2}+2\ge 4$

ta có: $t^2+at+b-2=0$

$\Longleftrightarrow 2-t^2=at+b$

$(2-t^2)^2=(at+b)^2 \le (a^2+b^2)(t^2+1)$

$\Longrightarrow a^2+b^2 \ge \dfrac{(2-t^2)^2}{t^2+1}$

đặt $t^2=y \Longrightarrow y \ge 4$

$\Longrightarrow a^2+b^2 \ge \dfrac{(2-y)^2}{y+1}$

$P=\dfrac{(2-y)^2}{y+1}=\dfrac{y^2-4y+4}{y+1}=\dfrac{(y^2+2y+1)-6(y+1)+9}{y+1}=(y+1)+\dfrac{9}{y+1}-6$

$=\dfrac{9}{y+1}+\dfrac{9}{25}(y+1)+\dfrac{16}{25}(y+1)-6$

$\ge 2.\sqrt{\dfrac{9}{y+1}.\dfrac{9}{25}(y+1)}+\dfrac{16}{25}(4+1)-6 \ge \dfrac{4}{5}$

$\Longrightarrow a^2+b^2 \ge \dfrac{4}{5}$

 

[soccan]

$4)$ sau mỗi lần chạm thì số bi mỗi màu tăng $2$ hoặc giảm $1$. Do đó , hiệu số bi có $2$ màu khác nhau trước và sau mỗi lần chạm đồng dư khi chia cho $3$
giả sử xảy ra trường hợp tất cả các viên bi đồng màu, khi đó có $54$ viên bi cùng màu này và $0$ viên có $2$ màu kia. Có $3|(54-0),\ 3|(54-0),\ 3|(0-0).$ Còn $3 \not|(17-15),\ 3\not|(22-17),\ 3\not|(22-13) $
do đó không thể xảy ra trường hợp đồng màu tất cả