BT khó - Toán 9

[matthamthcs]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Giải phương trình:
$ \sqrt{x^2 + 12} + 5 = 3x + \sqrt{x^2 +5} $

2. Giải hệ phương trình:
$x^2 + xy + x - y - 2y^2 = 0$
$x^2 - y^2 + x + y = 6$

3. Giải phương trình nghiệm nguyên:
$2x^2 + 3y^2 - 5xy - x + 3y -4 =0$

4. Gọi x,y,z và r lần lượt là độ dài 3 đường cao và bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác.
CMR : tam giác đó đều \Leftrightarrow 1/(x + 2y) + 1/(y + 2z) + 1/(z + 2x) = 1/(3r)

5. Trong mặt phẳng cho 8045 điểm mà diện tích mọi tam giác được tạo bởi các đỉểm đã cho không lớn hơn 1. CMR trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2012 điểm nằm trong hoặc trên cạnh của 1 tam có diện tích không lớn hơn 1

 

[transformers123]

Bài 1: Theo lời giải của congratulation11:

$5) \sqrt{x^2 + 12} +5 = 3x + \sqrt{x^2 +5} \\ \leftrightarrow \sqrt{x^2 + 12} -4 = (3x -6)+ \sqrt{x^2 +5}-3 \\ \leftrightarrow \dfrac{x^2-4}{\sqrt{x^2 + 12} +4}=3(x-2)+\dfrac{x^2-4}{\sqrt{x^2 +5}+3} \\ (x-2)(\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2 + 12} +4}-3-\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2 +5}+3})=0 \ \ ( * )$

Ta có thể Cm cái cụm "đồ sộ" kia <0 \forall x

Do vậy, $PT \ \ ( * ) \leftrightarrow x=2$

Đáp số: $x=2$

 

[matthamthcs]

cm cái cụm đồ sộ kia <0 cứ thế nào ý khó chứng minh wa
gợi ý cho em với

 

[hien_vuthithanh]

cm cái cụm đồ sộ kia <0 cứ thế nào ý khó chứng minh wa
gợi ý cho em với

$\sqrt{x^2+12}$\geq $\sqrt{x^2+5}$ \Rightarrow $\sqrt{x^2+12}+4$ \geq $\sqrt{x^2+5} +3 $
\Rightarrow $\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}$ \leq $ \dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}$
\Rightarrow $\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+12}}$ -$\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+5}} -3 < 0$

Xong!

 

[hien_vuthithanh]

2/

2. Giải hệ phương trình:
$x^2 + xy + x - y - 2y^2 = 0$ (1)
$x^2 - y^2 + x + y = 6$ (2)

(1) \Leftrightarrow $(x^2-y^2)+(xy-y^2)+(x-y)=0$
\Leftrightarrow (x-y)(x+2y+1)=0
\Leftrightarrow $ \left[\begin{matrix} x=y\\ x=-2y-1\end{matrix}\right.$
♣/ x=y \Rightarrow thay vào (2) \Rightarrow x=y=3
♣/ x=-2y-1 \Rightarrow thay vào (2) \Rightarrow (y-1)(y+2)=0
\Leftrightarrow $ \left[\begin{matrix} y=1 \\ y=-2 \end{matrix}\right.$
\Rightarrow nghiệm của hệ

 

[hien_vuthithanh]

3/

3. Giải phương trình nghiệm nguyên:
$2x^2 + 3y^2 - 5xy - x + 3y -4 =0$

$2x^2 + 3y^2 - 5xy - x + 3y -4 =0$
\Leftrightarrow $2x^2-3xy+3x-2xy+3y^2-3y-4x+6y-6=-2$
\Leftrightarrow $ x(2x-3y+3)-y(2x-3y+3)-2(2x-3y+3)=-2$
\Leftrightarrow $(2x-3y+3)(x-y-2)=-2$
ta có $-2=-1.2=-2.1$
Giải 4 trường hợp để tìm x,y nguyên
\Rightarrow Đ/S (x;y) ={ (2;2) ;(4;3) ;(14;11) ;(16;12) }

 

[hien_vuthithanh]

4/

4. Gọi x,y,z và r lần lượt là độ dài 3 đường cao và bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác.
CMR : tam giác đó đều \Leftrightarrow $\dfrac{1}{x+2y}+\dfrac{1}{y+2z}+\dfrac{1}{z+2x}$=$\dfrac{1}{3r}$

Ta có $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{r}$
Có $\dfrac{1}{9x}+\dfrac{1}{9y}+\dfrac{1}{9y}$ \geq$\dfrac{9}{9x+18y}$=$\dfrac{1}{x+2y}$ \Rightarrow $\dfrac{1}{9x}+\dfrac{2}{9y}$ \geq $\dfrac{1}{x+2y}$
TT \Rightarrow $\dfrac{1}{3r}=\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{3y}+\dfrac{1}{3z}$ \geq $\dfrac{1}{x+2y}+\dfrac{1}{y+2x}+\dfrac{1}{z+2x}$
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=y=z \Leftrightarrow [TEX]\Delta [/TEX] đều

 

[hien_vuthithanh]

5. Trong mặt phẳng cho 8045 điểm mà diện tích mọi tam giác được tạo bởi các đỉểm đã cho không lớn hơn 1. CMR trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2012 điểm nằm trong hoặc trên cạnh của 1 tam có diện tích không lớn hơn 1

Do số điểm là hữu hạn tam giác được hình thành \Rightarrow \exists 1 tam giác có diện tích max là $S_{ABC}$
Từ A kẻ đường thẳng // BC \Rightarrow các điểm còn lại nằm trong mặt phẳng chứa B,C
TT từ B,C kẻ các đường d' ,d'' // với AC,AB và d ,d' ,d'' cắt nhau tạo thành [TEX]\Delta [/TEX] A'B'C' mới \Rightarrow có 8045 điểm đã cho nằm trong [TEX]\Delta [/TEX] A'B'C'
trong [TEX]\Delta [/TEX] A'B'C' có 4 tam giác con có $S=S_{ABC}$ <1
theo nguyên lí Điriclê \Rightarrow \exists 1 tam giác chứa nhiều hơn 2012 điểm
\Rightarrow dpcm

 

[matthamthcs]

Tại sao có dc cai nay ak
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{r}$
CM thế nào hả anh

 

[eye_smile]

Gọi $a;b;c$ là 3 cạnh của tam giác

$S=\dfrac{1}{2}a.h_a=\dfrac{1}{2}b.h_b=\dfrac{1}{2}c.h_c$

\Rightarrow $\dfrac{1}{h_a}+\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}=\dfrac{a}{2S}+\dfrac{b}{2S}+\dfrac{c}{2S}=\dfrac{a+b+c}{2S}$

$\dfrac{1}{r}=\dfrac{p}{S}=\dfrac{a+b+c}{2S}$

 

[matthamthcs]

anh ơi cái bài tìm nghiệm nguyên này có phương pháp giải nào hay hơn ko anh bởi vì nhìn theo cách anh làm thì em hiểu nhưng về phương pháp thì làm cho các bài khác thì em chịu