1, Giả sử a,b,c,d là 4 số nguyên bất kì.CMR
b-a)(c-a)(d-a)(d-b)(d-c)(c-d) chia hết cho 12
2,CMR: H=
-Trong 4 số a, b, c, d có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 3 theo nguyên lý Dirichlet, giả sử là hai số a và b
[tex]\dpi{100} \Rightarrow a=3m+r;b=3n+r(m,n\in \mathbb{Z},0\leq r<3)\\\Rightarrow b-a=3n+r-3m-r=3n-3m=3(n-m)\\(b-a)(c-a)(d-a)(d-b)(d-c)(c-b)=3(n-m)(c-a)(d-a)(d-b)(d-c)(c-b)\vdots 3[/tex]
-Trong 4 số a, b, c, d nếu có ít nhất hai số cùng số dư khi chia cho 4, giả sử là hai số c và d
[tex]\dpi{100} \Rightarrow c=4p+s;d=4q+s(p,q\in \mathbb{Z},0\leq s<4)\\\Rightarrow d-c=4q+s-4p-s=4p-4q=4(q-p)\\(b-a)(c-a)(d-a)(d-b)(d-c)(c-b)=4(b-a)(c-a)(d-a)(d-b)(q-p)(c-b)\vdots 4[/tex]
-Trong 4 số a, b, c, d nếu có 4 số dư khác nhau, khi đó sẽ có 2 số lẻ và 2 số chẵn, giả sử 2 số lẻ là a và c, 2 số chẵn là b và d
[tex]\dpi{100} a=2x+1;c=2y+1;b=2z;d=2t(x,y,z,t\in \mathbb{Z})\\c-a=2y+1-2x-1=2y-2x=2(y-x)\\d-b=2t-2z=2(t-z)\\(b-a)(c-a)(d-a)(d-b)(d-c)(c-b)=4(b-a)(y-x)(d-a)(t-z)(d-c)(c-b)\vdots 4[/tex]
Vì
[tex]\dpi{100} (b-a)(c-a)(d-a)(d-b)(d-c)(c-b)\vdots 3;(b-a)(c-a)(d-a)(d-b)(d-c)(c-b)\vdots 4\\\Rightarrow (b-a)(c-a)(d-a)(d-b)(d-c)(c-b)\vdots 3.4\\\Leftrightarrow (b-a)(c-a)(d-a)(d-b)(d-c)(c-b)\vdots 12[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
