Bpt

[cbtruong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b dương, a+b\leq1. Chứng minh:
$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}$\geq6

 

[banghuan2122000@gmail.com]

A=[TEX]\frac{1}{a^2+b^2}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{ab}[/TEX] = [TEX]\frac{1}{a^2+b^2}[/TEX] + [TEX]\frac{2}{2ab}[/TEX]
a,b>0 .Áp dụng bất đẳng thức [TEX]\frac{1}{a}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{b}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{4}{a+b}[/TEX] ta được
A [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{4}{a^2+b^2+2ab}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{2ab}[/TEX] = [TEX]\frac{4}{(a+b)^2}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{2ab}[/TEX]
Lại có.Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta được 1 [TEX]\geq[/TEX] a+b [TEX]\geq[/TEX] 2[TEX]\sqrt[2]{ab}[/TEX] [TEX]\Rightarrow[/TEX] ab [TEX]\leq[/TEX] 1. Áp dụng điều trên ta được A [TEX]\geq[/TEX] 4+2=6
Dấu = xảy ra khi a=b= [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]