Bồi dưỡng toán 6:

A

ailatrieuphu

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho 2008 số nguyên [TEX]a_1; a_2;...;a_{2008}[/TEX] biết [TEX]a_1+a_2+...+a_{2008} \vdots 6[/TEX]. Chứng minh:[TEX]{a_1}^3+{a_2}^3+...+{a_{2008}}^3 \vdots 6[/TEX]
2)Cho [TEX]A=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3[/TEX]. Chứng minh: [TEX]A \vdots 24[/TEX] khi x; y; z cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
3)Chứng minh: [TEX]P=1.2.3...2015.2016.(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2015}+\frac{1}{2016}) \vdots 2017[/TEX]
4)Cho a; b;c; d >0 thỏa mãn: [TEX]a^2+c^2=b^2+d^2[/TEX]. Chứng minh [TEX]a+b+c+d[/TEX] là hợp số.
5)Chứng minh rằng: không tồn tại các số nguyên x; y thỏa mãn: [TEX]2008.x^{2009}+2009.y^{2010}=2011[/TEX]
6)Chứng minh:
a)[TEX]7.5^{2n}+12.6^n \vdots 19[/TEX]
b)[TEX]7^n+2+8^{2n}+1 \vdots 57[/TEX] với mọi n>0.
 
I

iceghost

Hình như phải gọi bằng anh mà mailoimi, thấy đăng trên box toán 9 nữa mà (._. )

2)
$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(y+z)(z+x) \; (1)$
+Với $x,y,z$ chẵn thì sẽ lần lượt có dạng $2a,2b,2c$
$(1) \iff 3(2a+2b)(2b+2c)(2c+2a) \\
=3.2.2.2(a+b)(b+c)(c+a)=24(a+b)(b+c)(c+a) \quad \vdots \quad 24 \; (2)$
+Với $x,y,z$ lẻ thì sẽ lần lượt có dạng $2a+1,2b+1,2c+1$
$(1) \iff 3(2a+1+2b+1)(2b+1+2c+1)(2c+1+2a+1) \\
=3(2a+2b+2)(2b+2c+2)(2c+2a+2) \\
=3.2.2.2(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=24(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1) \quad \vdots \quad 24 \; (3)$
Từ (2),(3) $\implies đpcm$
 
P

phamhuy20011801

1, Dễ thấy $a^3-a=a(a-1)(a+1) \vdots 6$ với mọi $x \in \mathbb{Z}$
$a_1^3-a_1+a_2^3-a_2+...+a_{2008}^3-a_{2008} \vdots 6$
Mà $a_1+a_2+...+a_{2008} \vdots 6$, suy ra đpcm.

3, $1.2.3.4...2016(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2016})\\
=1.2.3.4...2016(1+\dfrac{1}{2016}+\dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{2015}+...+\dfrac{1}{1013}+\dfrac{1}{1014})$
$=1.2.3.4...2016.2017(\dfrac{1}{2016}+\dfrac{1}{2.2015}+...+\dfrac{1}{1003.1004}) \vdots 2017$ vì $1.2.3.4...2016$ chia hết cho từng số hạng trong ngoặc.

4, $a^2-a+b^2-b+c^2-c+d^2-d \vdots 2$
$\iff a^2+b^2+c^2+d^2-(a+b+c+d) \vdots 2$
$\iff a+b+c+d \vdots 2$ (vì $a^2+b^2=c^2+d^2$ nên $a^2+b^2+c^2+d^2$ là số chẵn)
mà $a+b+c+d > 2$ nên là hợp số.

6, $7.5^{2n}+12.6^n=7.25^n-7.6^n+19.6^n=7(25^n-16^n)+19.6^n \vdots 19$
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom