bo de hay

[anhtruong10a9]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

ai lam cho minh bo de nay voi..............
bai 1: cho x,y la hai so duong thoa man : x+y=2010
hay tim gia tri nho nhat cua bieu thuc: [TEX]P=\frac{x}{\sqrt[]{2010-x}}+\frac{y}{\sqrt[]{2010-y}}[/TEX]
bai 2: cho a,b,c la cac so duong thoa man : ab+bc+ca=abc
CMR: [TEX]\frac{\sqrt[]{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt[]{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt[]{a^2+2c^2}}{ca}\geq\sqrt[]{3}[/TEX]
bai 3: cho cac so x,y,z,t va x\geq4 ; y\geq6 ; z\geq7 ; t\geq8
tim gia tri lon nhat cua :[TEX] A=\frac{1}{xyzt}.(xyz\sqrt[]{t-8}+xyt\sqrt[]{z-7}+xzt\sqrt[]{y-6}+yzt\sqrt[]{x-4})[/TEX]
bai 4: cho 3 so thuc duong thoa man a+b+c=3
CMR :[TEX] \frac{a^3}{a+bc}+\frac{b^3}{b+ca}+\frac{c^3}{c+ab}\geq\frac{3}{2}[/TEX]

giup minh voi cac bac ...minh tk nhieu...minh dang can gap...

 

[hoanghondo94]

[TEX]\frac{\sqrt[]{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt[]{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt[]{a^2+2c^2}}{ca}\geq\sqrt[]{3}[/TEX] với ab+bc+ca=abc

Em thử làm thế này xem nhé

Do [tex]{\color{Blue} \sqrt{a^2+2b^2}\sqrt{1+2} \geq a+2b [/tex]

nên[tex]{\color{Blue} VT \geq \frac{a+2b}{\sqrt{3}(ab)}+\frac{b+2c}{\sqrt{3}(cb)}+ \frac{c+2a}{\sqrt{3}(ac)} =\frac{1}{\sqrt{3}a}+\frac{2}{\sqrt{3}b}+\frac{1}{\sqrt{3}b} + \frac{2}{\sqrt{3}c} + \frac{1}{\sqrt{3}c}+\frac{2}{\sqrt{3}a}=\sqrt{3}[/tex]

bai 4: cho 3 so thuc duong thoa man a+b+c=3
CMR:
[TEX]\frac{a^3}{a+bc}+\frac{b^3}{b+ca}+\frac{c^3}{c+ab} \geq\frac{3}{2}[/TEX]

Với điều kiện của [TEX]{\color{Blue} a, b, c[/TEX] ta có: [TEX]{\color{Blue} abc \leq 1 [/TEX]và [TEX]{\color{Blue} a^2+b^2+c^2\ge 3[/TEX]

Ta có:
[TEX]{\color{Blue} \frac{a^3}{a+bc} =a^2-\frac{a^2bc}{a+bc} \ge a^2-\frac{1}{2} a\sqrt{abc}[/TEX]

Tương tự cho hai hạng tử kia, cộng vế theo vế ta được:

[TEX]{\color{Blue} \frac{a^3}{a+bc}+\frac{b^3}{b+ca}+\frac{c^3}{c+ab}\geq a^2+b^2+c^2-\frac{1}{2}\sqrt{abc}(a+b+c) \ge 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}[/TEX]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [TEX]{\color{Blue} a=b=c=1[/TEX]




Một cách khác rất hay cho bài này nữa (Từng thấy một cao thủ làm cách này )

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

[TEX] {\color{Orchid} \frac{{{a}^{3}}}{a+bc}+\frac{{{b}^{3}}}{b+ca}\ge \frac{{{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}^{2}}{{\left( \sqrt{{{a}^{3}}}+\sqrt{{{b}^{3}}} \right)}^{2}}}{{{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}^{2}}\left( a+b+bc+ca \right)}\ge \frac{{{\left( a+b \right)}^{3}}}{2\left( a+b+bc+ca \right)}=\frac{{{\left( 3-c \right)}^{2}}}{2\left( 1+c \right)}[/TEX].

Mặt khác, [TEX] {\color{Orchid} ab \le \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{(3-c)^2}{4}[/TEX],

do đó bài toán sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được [TEX]{\color{Orchid} \frac{{{\left( 3-c \right)}^{2}}}{2\left( 1+c \right)}+\frac{4{{c}^{3}}}{4c+{{\left( 3-c \right)}^{2}}}\ge \frac{3}{2}.[/TEX]

Thật vậy, ta có:

[TEX] {\color{Orchid} \frac{{{\left( 3-c \right)}^{2}}}{2\left( 1+c \right)}+\frac{4{{c}^{3}}}{4c+{{\left( 3-c \right)}^{2}}}- \frac{3}{2}=\frac{3{{\left( c-1 \right)}^{2}}\left( 3{{c}^{2}}+5c+18 \right)}{2\left( c+1 \right)\left( {{c}^{2}}-2c+9 \right)} \ge 0.[/TEX]

Okie