Giả sử [imath]\exists m \in \mathbb{N} \in S(3) \cap S(4)[/imath].
Ta biểu diễn [imath]m=\overline{111}_{(a)}=\overline{1111}_{(b)}[/imath] với [imath]a,b \in \mathbb{N}^*[/imath].
Khi đó [imath]m=a^0+a^1+a^2=b^0+b^1+b^2+b^3[/imath]
[imath]\Leftrightarrow a+a^2=b+b^2+b^3[/imath]
[imath]\Leftrightarrow b^3=(a-b)(a+b+1)[/imath]
Đặt [imath]d=(a,b) \Rightarrow \begin{cases} a=da' \\ b=db' \\ (a',b')=1 \end{cases}[/imath]
Ta thấy [imath]d^3b'^3=d(a'-b')(da'+db'+1)[/imath]
[imath]\Rightarrow d^2b'^3=(a'-b')(da'+db'+1)[/imath]
Ta thấy [imath](da'+db'+1,d)=1[/imath] nên [imath]a'-b'|d^2[/imath]
[imath]\Rightarrow da'+db'+1 \vdots b'^3[/imath]
Đặt [imath]d^2=k(a'-b') (k \in \mathbb{N})[/imath]
[imath]\Rightarrow da'+db'+1=kb'^3[/imath]
[imath]\Rightarrow d(a'+b')=kb'^3-1[/imath]
Từ đây [imath](d,k)=1[/imath]. Mà [imath]k|d^2[/imath] nên [imath]k=1[/imath]
[imath]\Rightarrow \begin{cases} d^2=a'-b' \\ d=\dfrac{b'^3-1}{a'+b'} \end{cases}[/imath]
Từ đó ta suy ra [imath](\dfrac{b'^3-1}{a'+b'})^2=a'-b'[/imath]
Ta thấy [imath]a'-b'[/imath] là số chính phương nên đặt [imath]a'=b'+t^2 (t \in \mathbb{N}^*)[/imath]
Khi đó [imath]\dfrac{b'^3-1}{t^2+2b'}=t[/imath]
[imath]\Rightarrow b'^3-1=t^3+2b't[/imath]
[imath]\Rightarrow b'^3-t^3=2b't+1[/imath]
[imath]\Rightarrow (b'-t)(b'^2+b't+t^2)=2b't+1[/imath]
Dễ thấy [imath]VP>0[/imath] nên [imath]VT>0[/imath] hay [imath]b'>t[/imath]
[imath]\Rightarrow b'\geq t+1[/imath]
[imath]\Rightarrow 2b't+1=VP=VT \geq b'^2+b't+t^2 > 3b't[/imath]
[imath]\Rightarrow b't < 1 \Rightarrow b't \leq 0[/imath]
Mà [imath]b',t \in \mathbb{N}^*[/imath] nên vô lý. Vậy ta có đpcm.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
Đề thi ôn tập chọn HSGQG
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
