Toán 12 Biến đổi logarit

[Tungtom]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người giúp em với ạ, em cảm ơn.

Cho hàm sồ $f(x)= \log_{2}(x-\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x+\frac{17}{4}}).$

Tính $T=f(\frac{1}{2019})+f(\frac{2}{2019})+...+f(\frac{2018}{2019}).$

 

[Lê.T.Hà]

[tex]f(1-x)=log_2\left (\dfrac{1}{2}-x+\sqrt{x^2-x+\dfrac{17}{4}} \right )[/tex]
[tex]f(x)+f(1-x)=log_2\left (\sqrt{x^2-x+\dfrac{17}{4}}+x-\dfrac{1}{2} \right )+log_2\left (\sqrt{x^2-x+\dfrac{17}{4}}-\left(x-\dfrac{1}{2} \right) \right )[/tex]
[tex]=log_2\left ( x^2-x+\dfrac{17}{4}-\left ( x-\dfrac{1}{2} \right )^2 \right )=log_2{4}=2[/tex]
[tex]T=f\left ( \dfrac{1}{2019} \right )+f\left ( \dfrac{2018}{2019} \right )+...+f\left ( \dfrac{1009}{2019} \right )+f\left ( \dfrac{1010}{2019} \right )=2+2+...+2=1009.2[/tex]

 

[chi254]

Mọi người giúp em với ạ, em cảm ơn.

Cho hàm sồ $f(x)= \log_{2}(x-\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x+\frac{17}{4}}).$

Tính $T=f(\frac{1}{2019})+f(\frac{2}{2019})+...+f(\frac{2018}{2019}).$

$f(x)= \log_{2}(x-\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x+\frac{17}{4}}).$
$f(1-x) = \log_{2}(1-x-\frac{1}{2}+\sqrt{(1-x)^2-(1-x)+\frac{17}{4}}).\\
= \log_{2}(-(x-\frac{1}{2})+\sqrt{x^2-x+\frac{17}{4}}).\\
f(x) + f(1-x) = \log_{2}((-(x-\frac{1}{2})+\sqrt{x^2-x+\frac{17}{4}}) .(x-\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x+\frac{17}{4}})) = \log_{2}4 = 2$
Áp dụng ghép các số trong tổng
$T = 2.1009 = 2018$

 

[Kaito Kidㅤ]

[tex]f(x)= \log_{2}(x-\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x+\frac{17}{4}}).\\\Leftrightarrow f(x)= \log_{2}(x-\frac{1}{2}+\sqrt{(x-\frac{1}{2})^2+4}).[/tex]
Đến đây sau 1 lúc loay hoay không ra, mình đã nghĩ đến mấy bài toán chia cặp sao cho tổng bằng nhau hồi cấp 2 từ việc nhìn vào hệ số của [tex]\frac{1}{2019}[/tex] và [tex]\frac{2018}{2019}[/tex]
Nên tình cờ tìm thử [tex]f(1-x)=\log_2(\sqrt{(x-\frac{1}{2})^2+4}-(x-\frac{1}{2}))[/tex]
Như vậy thì [tex]f(x)+f(1-x)=\log_24=2[/tex]
Có $1009$ cặp như vậy thì $T=1009.2=2018$