Biến đổi đồng nhất

[phamvananh9]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX][/TEX]
B1: Cho : $\sqrt[3]{1-x^3}(y-z) + \sqrt[3]{1-y^3}(z-x) + \sqrt[3]{1-z^3}(x-y)=0$
CMR: $ (1-x^3)(1-y^3)(1-z^3) = (1-xyz)^3$.

B2: Cho a; b thuộc Q và $x_1 = 2+\sqrt[]{5}$ là nghiệm của pt:
$ x^3 + ax^2 + bx + 1 =0$. Gọi $x_2; x_3 $ là các nghiệm còn lại.
CM: $ S_n = (x_1)^n + (x_2)^n + (x_3)^n $thuộc Z (n thuộc N*).

 

[hien_vuthithanh]

1/

Áp dụng $A^3+B^3+C^3$=3ABC khi A+B+C=0
Từ giả thiết \Rightarrow $(1-x^3)(y-z)^3+(1-y^3)(z-x)^3+(1-z^3)(x-y)^3=3 \sqrt[3]{(1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)}(y-z)(z-x)(x-y)$ %%-

khai triển $(1-x^3)(y-z)^3+(1-y^3)(z-x)^3+(1-z^3)(x-y)^3$ và thu gọn được kết quả là 3(1-xyz)(y-z)(z-x)(x-y) %%-%%-
Từ %%- và %%-%%- \Rightarrow $ \sqrt[3]{(1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)}$ =1-xyz
\Rightarrow$ (1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)$=$(1-xyz)^3$
\Rightarrow dpcm

 

[hien_vuthithanh]

2/

Vì x=$2+\sqrt{5}$ là nghiệm của phương trình \Rightarrow thay vào được $(2+\sqrt{5})^3+a(2+\sqrt{5})^2$=$b(2+\sqrt{5})+1$=0
\Leftrightarrow $(4a+b+17)\sqrt{5}+(9a+2b+39)$=0
\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix} 4a+b+17=0\\9a=2b=39=0 \end{matrix}\right.$ \Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix} a=-5\\b=3 \end{matrix}\right.$
\Rightarrow phương trình trở thành $x^3-5x^2+3x+1$ =0
\Leftrightarrow $ \left[\begin{matrix} x=1\\ x=2+\sqrt{5}\\x=2-\sqrt{5}\end{matrix}\right.$
ta có $S_n$=$(2+\sqrt{5}^n+(2-\sqrt{5})^n+1$
Đặt $Q_n$=$(2+\sqrt{5}^n+(2-\sqrt{5})^n$
có $Q_{n+2}$=$(2+\sqrt{5})^{n+2}+(2-\sqrt{5})^{n+2}$=4$Q_{n+1}$-(4-5)$Q_n$ =4$(Q_{n+1}$+$Q_n$)
(vì luôn có $a^{n+2}+b^{n+2}$=$(a+b)(a^{n+1}+b^{n+1})-ab(a^n+b^n)$
Có $Q_0$=3,$Q_1$=5 \Rightarrow $Q_n$ [TEX] \in \[/TEX]N \forall n [TEX]\in \ [/TEX]Z
\Rightarrow $S_n$ [TEX] \in \[/TEX]Z