Biến đổi biểu thức

[bachviet161268]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho $a,b,c$ đôi một $\not=$ nhau.
Biết $\dfrac1{(a-b)^2}+\dfrac1{(b-c)^2}+\dfrac1{(c-a)^2}$ là 1 số nguyên.
CM :$\dfrac1{(a-b)^2}+\dfrac1{(b-c)^2}+\dfrac1{(c-a)^2}$ là 1 số chính phương

 

[linhhuyenvuong]

$\dfrac{1}{(a-b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2}$
$ =(\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a})^2-2.[\dfrac{1}{(b-c)(c-a)}+\dfrac{1}{(b-c)(a-b)}+\dfrac{1}{(a-b)(c-a)}]$
$=(\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a})^2-2.\dfrac{a-b+b-c+c-a}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$=(\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a})^2$