Chia 2 vế cho abc:
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{\left ( \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b} \right )\left (\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b} \right )}\geq 1+\sqrt[3]{\left ( 1+\frac{bc}{a^2} \right )\left (1+\frac{ac}{b^2} \right )\left (1+\frac{ab}{c^2} \right )}[/tex]
Nhân phá ngoặc vế trái, rút gọn và đặt [tex]\left ( \frac{ab}{c^2};\frac{ac}{b^2} ;\frac{bc}{a^2}\right )=(x;y;z)\Rightarrow xyz=1[/tex]
BĐT cần c/m trở thành:
[tex]\sqrt{3+x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\geq 1+\sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{1+1+xyz+x+y+z+xy+yz+zx}\geq 1+\sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{1+(1+x)(1+y)(1+z)}\geq 1+\sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}[/tex]
Đặt [tex]t=\sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}\geq \sqrt[3]{2\sqrt{x}.2\sqrt{y}.2\sqrt{z}}=2[/tex]
BĐT cần c/m trở thành:
[tex]\sqrt{1+t^3}\geq 1+t\Leftrightarrow t^3-t^2-2t\geq 0\Leftrightarrow t(t+1)(t-2)\geq 0[/tex] luôn đúng với mọi [tex]t\geq 2[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi [tex]t=2\Leftrightarrow x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
