Biến đổi tương đương khá là dài...
Ta có: [tex]a+b+c=abc\Leftrightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1[/tex]
Đặt [tex](\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})=(x,y,z)\Rightarrow xy+yz+zx=1[/tex]
Ta có: [tex]VT=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{b^2}}-\sqrt{1+c^2}=\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}[/tex]
Cần chứng minh [tex]\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}< 1\Leftrightarrow \sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}< 1+\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}\Leftrightarrow 1+x^2+1+y^2+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}< 1+1+\frac{1}{z^2}+2\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}\Leftrightarrow x^2+y^2+2\sqrt{x^2+xy+yz+zx}.\sqrt{y^2+xy+yz+zx}< \frac{1}{z^2}+2\frac{\sqrt{1+z^2}}{z}\Leftrightarrow x^2+y^2+2\sqrt{(x+y)(x+z)(y+x)(y+z)}< \frac{1}{z^2}+2.\frac{\sqrt{1+z^2}}{z}\Leftrightarrow (x^2+y^2-\frac{1}{z^2})+2\sqrt{(x+z)(y+z)}(x+y)-\frac{2\sqrt{1+z^2}}{z}< 0\Leftrightarrow (x^2+y^2-\frac{1}{z^2})+2\sqrt{z^2+1}(x+y)-\frac{2\sqrt{1+z^2}}{z}< 0\Leftrightarrow (x^2+y^2-\frac{1}{z^2})+2\sqrt{1+z^2}(x+y-\frac{1}{z})< 0[/tex](1)
Vì [tex]1=xy+yz+zx> yz+zx\Leftrightarrow x+y< \frac{1}{z}\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy< \frac{1}{z^2}\Leftrightarrow x^2+y^2-\frac{1}{z^2}< -2xy< 0[/tex]
Vậy (1) luôn đúng hay ta có đpcm.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
