Ta có: [tex]xy+2\geq 2y\geq 2\Rightarrow xy\geq 0\Rightarrow x\geq 0[/tex]
Lại có: [tex]xy+2\geq 2y\Leftrightarrow (2-x)y\leq 2\Leftrightarrow 2-x\leq \frac{2}{y}\Leftrightarrow x\geq 2-\frac{2}{y}\Rightarrow x^2\geq 4-\frac{8}{y}+\frac{4}{y^2}[/tex]
Mà [tex]1\leq y\leq 2\Rightarrow (y-1)(y-2)\leq 0\Rightarrow y^2-3y+2\leq 0\Rightarrow y^2+1\leq 3y-1[/tex]
[tex]\Rightarrow M=\frac{x^2+4}{y^2+1}\geq \frac{4-\frac{8}{y}+\frac{4}{y^2}+4}{3y-1}=\frac{8y^2-8y+4}{3y^3-y^2}[/tex]
Cần chứng minh [tex]\frac{8y^2-8y+4}{3y^3-y^2}\leq 1\Leftrightarrow 3y^3-y^2\leq 8y^2-8y+4\Leftrightarrow 3y^3-9y^2+8y-4\leq 0\Leftrightarrow (y-2)(3y^2-3y+2)\leq 0[/tex] (luôn đúng do [tex]y\leq 2[/tex] và [tex]3y^2-3y+2> 0[/tex] )
Vậy [tex]M\geq 1[/tex]. Dấu "=" xảy ra khi x = 1,y = 2.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
