Toán 9 BĐT

[ankhongu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho $a, b, c \geq 0$ thỏa mãn : [tex]a + b + c = 3[/tex]
CMR :
$\sum \frac{1}{1 + bc} \geq \frac{9}{2(\sum \sqrt{a})}$

@Mộc Nhãn @shorlochomevn@gmail.com @Lê.T.Hà

 

[7 1 2 5]

Ta thấy: Trong 3 số a - 1, b - 1, c - 1 luôn tồn tại 2 số không dương. Giả sử đó là b - 1 và a - 1.
Ta có: [tex](b-1)(c-1)\leq 0\Rightarrow bc+1\leq b+c=3-a[/tex]
[tex]\sum \frac{1}{1 + bc}\geq \frac{9}{3+ab+bc+ca}=\frac{9}{2+a(b+c)+(bc+1)}\geq \frac{9}{2+a(2-a)+3-a}=\frac{9}{5+a(2-a)}\geq \frac{9}{5+(\frac{a+2-a}{2})^2}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}[/tex]
Lại có: [tex]a,b,c\in [0;1]\Rightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 2(a+b+c)=6\Rightarrow \frac{9}{2(\sum \sqrt{a})}\leq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}[/tex]
Vậy [tex]\sum \frac{1}{1+ab}\geq \frac{3}{2}\geq \frac{9}{2\sum \sqrt{a}}[/tex]

 

[ankhongu]

Ta thấy: Trong 3 số a - 1, b - 1, c - 1 luôn tồn tại 2 số không dương. Giả sử đó là b - 1 và a - 1.
Ta có: [tex](b-1)(c-1)\leq 0\Rightarrow bc+1\leq b+c=3-a[/tex]
[tex]\sum \frac{1}{1 + bc}\geq \frac{9}{3+ab+bc+ca}=\frac{9}{2+a(b+c)+(bc+1)}\geq \frac{9}{2+a(2-a)+3-a}=\frac{9}{5+a(2-a)}\geq \frac{9}{5+(\frac{a+2-a}{2})^2}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}[/tex]
Lại có: [tex]a,b,c\in [0;1]\Rightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 2(a+b+c)=6\Rightarrow \frac{9}{2(\sum \sqrt{a})}\leq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}[/tex]
Vậy [tex]\sum \frac{1}{1+ab}\geq \frac{3}{2}\geq \frac{9}{2\sum \sqrt{a}}[/tex]

Sao ta biết được là [tex]1 \geq a, b, c \geq 0[/tex] vậy ?