Đặt [tex](x,y,z)=(a-1,b-1,c-1)[/tex]
Từ giả thiết ta có: [tex](x+1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x+1)=(x+1)(y+1)(z+1)\Rightarrow xyz=x+y+z+2[/tex]
Ta thấy: [tex]\frac{1}{27}(x+y+z)^3\geq xyz=x+y+z+2\Rightarrow (x+y+z)^3\geq 27(x+y+z)+54\Rightarrow x+y+z\geq 6\Rightarrow xyz=x+y+z+2\leq x+y+z+\frac{x+y+z}{3}=\frac{4(x+y+z)}{3}[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{xyz}{x+y+z}\leq \frac{4}{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{xyz}{x+y+z}\sqrt{\frac{27xyz}{x+y+z}}\leq \frac{4}{3}.6=8[/tex]
Ta cần chứng minh: [tex](x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leq \frac{xyz}{x+y+z}\sqrt{\frac{27xyz}{x+y+z}}\Leftrightarrow [(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)]^2(x+y+z)^3\leq 27x^3y^3z^3[/tex]
Đặt [tex](x+y-z,y+z-x,z+x-y)=(m,n,p)[/tex]
BĐT trên trở thành: [tex]27(m+n)^3(n+p)^3(p+m)^3\geq 512m^2n^2p^2(m+n+p)^3[/tex]
Vì [tex]9(m+n)(n+p)(p+m)=8(m+n)(n+p)(p+m)+(m+n)(n+p)(p+m)\geq 8(m+n)(n+p)(p+m)+8mnp=8[(m+n)(n+p)(p+m)+mnp]=8(m+n+p)(mn+np+pm)[/tex]
Ta chỉ cần chứng minh:[tex](m+n+p)^3(mn+np+pm)^3\geq 27m^2n^2p^2(m+n+p)^3\Leftrightarrow (mn+np+pm)^3\geq 27m^2n^2p^2[/tex](đúng theo BĐT Cauchy)
Vậy ta có đpcm.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
