Toán 9 BĐT

[ankhongu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a, b, c > 0. CMR :
[tex]\sum \frac{a^2 + bc}{a^2 + (b + c)^2} \leq \frac{18}{5}.\frac{\sum a^2}{(\sum a)^2}[/tex]
@Mộc Nhãn @shorlochomevn@gmail.com @mbappe2k5 @Hoàng Vũ Nghị @Lê.T.Hà

 

[7 1 2 5]

BĐT tương đương với: [tex]\sum (1-\frac{a^2+bc}{a^2+(b+c)^2})+\frac{18}{5}.\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\geq 3\Leftrightarrow \sum \frac{(b+c)^2-bc}{a^2+(b+c)^2}+\frac{18}{5}.\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\geq 3[/tex]
Ta thấy: [tex](b+c)^2-bc\geq \frac{3}{4}(b+c)^2[/tex]
[tex]\sum \frac{(b+c)^2-bc}{a^2+(b+c)^2}+\frac{18}{5}.\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2} \geq 3[/tex] [tex]\Leftrightarrow \sum \frac{3(b+c)^2}{4(a^2+(b+c)^2}+\frac{18}{5}.\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\geq 3[/tex]
Cần chứng minh [tex]\sum \frac{(b+c)^2}{4(a^2+(b+c)^2)}+\frac{6}{5}.\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\geq 1[/tex]
Lại có: [tex]\sum \frac{(b+c)^2}{4(a^2+(b+c)^2)}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{4(a^2+b^2+c^2)+4\sum (a+b)^2}=\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+\sum (a+b)^2}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2}=\frac{1}{2.\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}+1}[/tex]
Đặt [tex]\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}=x(x\geq \frac{1}{3})[/tex]
Ta cần chứng minh [tex]\frac{1}{2.\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}+1}+\frac{6}{5}.\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\geq 1\Leftrightarrow \frac{1}{2x+1}+\frac{6x}{5}\geq 1\Leftrightarrow x(3x-1)\geq 0[/tex](đúng)
Vậy BĐT được chứng minh.