Toán 8 BĐT

[Love You At First Sight]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

làm giúp mình bài này với ạ

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

Theo $AM-GM$, ta có:
$2yz+2= x^{2}+\left ( y+z \right )^{2}\geq 2x\left ( y+z \right )\\\Rightarrow yz+1\geq x\left ( y+z \right )$
$\Rightarrow M\leq \frac{x+y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}$
Nếu $x+y+z\leq 2$ thì: $M=1-\frac{1}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\leq 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}= 1$
Nếu $x+y+z\geq 2$ đổi biến $p,q,r$ ta có:
$M\leq \frac{p}{p+1}+\frac{1}{\frac{p\left ( 4q-p^{2} \right )}{9}+3}\\=\frac{p}{p+1}+\frac{9}{p^{3}-4p+27}$
Khảo sát hàm trên với $p\in \left [ \sqrt{2};2 \right ]$ ta cũng có: $M\leq 1$
Kết hợp cả hai trường hợp, ta đều có: $\max M=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=1 & & \\ z=0 & & \end{matrix}\right.$

 

[harder & smarter]

Theo $AM-GM$, ta có:
$2yz+2= x^{2}+\left ( y+z \right )^{2}\geq 2x\left ( y+z \right )\\\Rightarrow yz+1\geq x\left ( y+z \right )$
$\Rightarrow M\leq \frac{x+y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}$
Nếu $x+y+z\leq 2$ thì: $M=1-\frac{1}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\leq 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}= 1$
Nếu $x+y+z\geq 2$ đổi biến $p,q,r$ ta có:
$M\leq \frac{p}{p+1}+\frac{1}{\frac{p\left ( 4q-p^{2} \right )}{9}+3}\\=\frac{p}{p+1}+\frac{9}{p^{3}-4p+27}$
Khảo sát hàm trên với $p\in \left [ \sqrt{2};2 \right ]$ ta cũng có: $M\leq 1$
Kết hợp cả hai trường hợp, ta đều có: $\max M=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=1 & & \\ z=0 & & \end{matrix}\right.$

Có cách khác dễ hiểu hơn ko anh? @@