Toán BĐT

[NNGT0109]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tích a.b.c = 1 và a+b+c>1/a + 1/b + 1/c
CM: (a-1).(b-1).(c-1)>0
:r3:r2:r50

please help me :r3:r3:r3:r3

 

[chi254]

Cho tích a.b.c = 1 và a+b+c>1/a + 1/b + 1/c
CM: (a-1).(b-1).(c-1)>0
:r3:r2:r50

Ta có :
$a + b + c > \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$

$a + b + c > \dfrac{abc}{a} + \dfrac{abc}{b} + \dfrac{abc}{c}$

$a + b + c > ab + bc + ca$

$a + b + c - ab - bc - ca > 0$

Ta lại có :

$(a-1).(b-1).(c-1)$

$= abc + a + b + c - ab - bc - ca - 1$

$= 1 - 1 + a + b + c - ab - bc - ca$

$= a + b + c - ab - bc - ca > 0$
Vậy...

 

[NNGT0109]

Ta có :
a + b + c > \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}
a + b + c > \dfrac{abc}{a} + \dfrac{abc}{b} + \dfrac{abc}{c}
a + b + c > ab + bc + ca
Ta lại có :
(a-1).(b-1).(c-1)
= abc + a + b + c - ab - bc - ca - 1

"\dfrac{1}{a} " là gì vậy???

@chi254 : Lúc nãy , mình viết chưa xong đó bạn , bạn tham khảo bài của mình nhé!

 

[machung25112003]

Thay 1 = a.b.c ,ta có:
a + b + c > abc/a + abc/b + 1/c
<=> a + b + c > bc + ac + 1/c
<=>(a - ac) + (b - bc) + (c - 1/c) > 0
<=>a(1 - c) + b(1 - c) + (c - 1/c) > 0
Nhân cả hai vế với c, ta có:
<=>ac(1 - c) + bc(1 - c) + (c^2 - 1) > 0
<=>ac(1 - c) + bc(1 - c) + (c - 1)(c + 1) > 0
<=>ac(1 - c) + bc(1 - c) - (1 - c)(c + 1) > 0
<=>(1 - c)(ac + cb - c - 1) > 0
<=>(1 - c)[(ac - c) + (cb - 1)] > 0
<=>(1 - c)[c(a - 1) + (cb - abc)] > 0
<=>(1 - c)[c(a - 1) - cb(a - 1)] > 0
<=>(1 - c)(a - 1)(c - cb) > 0
<=>(1 - c)(a - 1)(1 - b)c > 0
<=>(c - 1)(a - 1)(b - 1)c > 0
Chia cả hai vế với c, ta có:
(c - 1)(a - 1)(b - 1) > 0

 

[Trần Đức Long]

Ta khai triển (a-1)(b-1)(c-1)
=abc+a+b+c-ab-bc-ac-1
=1+a+b+c-ab-ac-bc-1 (vì abc=1)
=a+b+c-ab-ac-bc
Ta có: a+b+c >1/a +1/b +1/c
=>a+b+c> bc+ac+ab/abc
=>a+b+c>bc+ac+ab (vì abc=1)
=>a+b+c-ab-ac-bc>0
Hay (a-1)(b-1)(c-1)>0 (đpcm).