bđt

[khai29112998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho $x,y>0$ thỏa mãn $x+y$\leq1. Tìm min của bt:

$P=\sqrt{4x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{4y^2+\dfrac{1}{y^2}}-(\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1})$

 

[duchieu300699]

cho $x,y>0$ thỏa mãn $x+y$\leq1. Tìm min của bt:

$P=\sqrt{4x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{4y^2+\dfrac{1}{y^2}}-(\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1})$

- Xét: $\sqrt{4x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{4y^2+\dfrac{1}{y^2}}$

$= \sqrt{4x^2+\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{3}{4x^2}}+\sqrt{4y^2+\dfrac{1}{4y^2}+\dfrac{3}{4y^2}}$

$\ge \sqrt{\dfrac{3}{4x^2}+2}+\sqrt{\dfrac{3}{4y^2}+2}$ $\ge \sqrt{\dfrac{3}{4}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})^2+8}$ $\ge \sqrt{\dfrac{3}{4}(\dfrac{4}{x+y})^2+8}\ge 2\sqrt{5}$

- Biến đổi tương đương ta c/m được: $\dfrac{x}{x^2+1}\le \dfrac{12}{25}(x-\dfrac{1}{2})+\dfrac{2}{5}$ và $\dfrac{y}{y^2+1}\le \dfrac{12}{25}(y-\dfrac{1}{2})+\dfrac{2}{5}$ với $0\le x,y\le 1$

$\rightarrow \dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}\le \dfrac{12}{25}(x+y-1)+\dfrac{4}{5}\le \dfrac{4}{5}$

$\rightarrow P\ge 2\sqrt{5}-\dfrac{4}{5}$

Dấu "=" khi $x=y=\dfrac{1}{2}$

 

[khai29112998]

..

bạn có thể nói rõ hơn chỗ $\dfrac{x}{x^2+1}$\leq$\dfrac{12}{25}(x-\dfrac{1}{2})+\dfrac{2}{5}$ được không? Cảm ơn bạn nhiều

 

[duchieu300699]

bạn có thể nói rõ hơn chỗ $\dfrac{x}{x^2+1}$\leq$\dfrac{12}{25}(x-\dfrac{1}{2})+\dfrac{2}{5}$ được không? Cảm ơn bạn nhiều

$\leftrightarrow 25x\le [12(x-\dfrac{1}{2})+10](x^2+1) \leftrightarrow 25x\le (12x+4)(x^2+1)$

$\leftrightarrow (2x-1)^2(3x+4)\ge 0$ (điều này luôn đúng, dấu "=" khi $x=\dfrac{1}{2}$)