Bđt

[huyenltv274]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: $(1+ \dfrac{1}{a} )(1+ \dfrac{1}{b} )(1+ \dfrac{1}{c})$ \geq $64$ >-:khi (188)::khi (188)::khi (188):
Chú ý Latex , ko dùng quá 5 icon.

 

[eye_smile]

Ta có:

$(1+\dfrac{1}{a})(1+\dfrac{1}{b})(1+\dfrac{1}{c})=\dfrac{a+1}{a}.\dfrac{b+1}{b}.\dfrac{c+1}{c} = \dfrac{a+a+b+c}{a}.\dfrac{a+b+b+c}{b}.\dfrac{a+b+c+c}{c} \ge \dfrac{4\sqrt[4]{a^2bc}.4\sqrt[4]{ab^2c}.4\sqrt[4]{abc^2}}{abc}=64$

 

[chaudoublelift]

Giải

Với $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$, ta có:
$(1+\dfrac{1}{a}).(1+\dfrac{1}{b}).(1+\dfrac{1}{c})$
$=\dfrac{2a+b+c}{a}.\dfrac{a+2b+c}{b}.\dfrac{a+b+2c}{c}$
$=(\dfrac{a}{a}+\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}).(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}+\dfrac{b}{b}+ \dfrac{c}{b}).(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{c}+\dfrac{c}{c})$
Áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số dương $\dfrac{a}{a},\dfrac{a}{a},\dfrac{b}{a},\dfrac{c}{a}$, ta có:
$\dfrac{a}{a}+\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}≥4.\sqrt[4]{\dfrac{a^{2}bc}{a^4}}=4.\dfrac{\sqrt[4]{a^{2}bc}}{a}(1)$
Tương tự:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{b}+\dfrac{b}{b}+ \dfrac{c}{b}≥4.\dfrac{\sqrt[4]{b^{2}ac}}{b}(2)$
$\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{c}+\dfrac{c}{c}≥4.\dfrac{\sqrt[4]{c^{2}ab}}{c}(3)$
Từ (1)(2)(3) suy ra $(1+\dfrac{1}{a}).(1+\dfrac{1}{b}).(1+\dfrac{1}{c})≥64.\dfrac{\sqrt[4]{a^{4}b^{4}c^{4}}}{abc}=64(đpcm)$