Bđt

[tienqm123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho : [TEX]\frac{1}{1+a^4}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{1+b^4}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{1+c^4}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{1+d^4}[/TEX] =1
CMR: abcd >= 3

 

[microwavest]

---------------------

Ta có:

$\dfrac{1}{1+b^4}+\dfrac{1}{1+c^4}+\dfrac{1}{1+d^4}=1-\dfrac{1}{1+a^4}=\dfrac{a^4}{1+a^4}$

Tương tự:
$\dfrac{b^4}{1+b^4}=\dfrac{1}{1+a^4}+\dfrac{1}{1+c^4}+\dfrac{1}{1+d^4}$
$\dfrac{c^4}{1+c^4}=\dfrac{1}{1+a^4}+\dfrac{1}{1+b^4}+\dfrac{1}{1+d^4}$
$\dfrac{d^4}{1+d^4}=\dfrac{1}{1+a^4}+\dfrac{1}{1+b^4}+\dfrac{1}{1+c^4}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số dương ta được:

$\dfrac{a^4}{1+a^4}$=$\dfrac{1}{1+b^4}+\dfrac{1}{1+c^4}+\dfrac{1}{1+d^4}$ \geq $\dfrac{3}{\sqrt[3]{(b^4+1)(c^4+1)(d^4+1)}}$

Tương tự rồi nhân vế theo vế ta được ${a^4}{b^4}{c^4}{d^4}$ \geq 81 \Leftrightarrow $abcd$ \geq 3

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=d=\sqrt[4]{3}$