Bdt

[hien_vuthithanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y,z là 3 số dương thoả mãn x+y+z=3.CM
$\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}$ \leq 1

 

[eye_smile]

Ta có:
$\sqrt{3x+yz}=\sqrt{x(x+y+z)+yz}=\sqrt{(x+y)(x+z)}$ \geq $\sqrt{xy}+\sqrt{xz}$
\Rightarrow $\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}$ \leq $\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$
TT, với 2 phân số còn lại rồi cộng theo vế đượ đpcm

 

[angleofdarkness]

Ta có:
$\sqrt{3x+yz}=\sqrt{x(x+y+z)+yz}=\sqrt{(x+y)(x+z)}$ \geq $\sqrt{xy}+\sqrt{xz}$
\Rightarrow $\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}$ \leq $\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$
TT, với 2 phân số còn lại rồi cộng theo vế đượ đpcm

Chỗ màu đỏ hình như sai rồi, bạn dùng Cauchy phải không? Như vậy thiếu mất 2 rồi.

 

[eye_smile]

Tớ dùng Cauchy-Schwarz mà:
${(\sqrt{xy}+\sqrt{zx})^2}$ \leq $(x+z)(y+x)$
Khai căn ra.

@Gõ nhanh nhỉ !!! Ta chậm mất rồi
@eye_smile:Nhìn xem đứa nào phải gõ nhiều hơn)

 

[forum_]

Đúng rồi mà

$\sqrt{(x+y)(x+z)} = \sqrt[]{x^2+xz+xy+yz}$ \geq $\sqrt[]{2x\sqrt[]{yz}+x(y+z)}$

(Áp dụng Cô-si cho 2 số $x^2$ và $yz$)

=$\sqrt[]{x(y+z+2\sqrt[]{yz})} = \sqrt[]{x(\sqrt[]{y}+\sqrt[]{z})^2} = .....$

 

[angleofdarkness]

Đúng rồi mà

$\sqrt{(x+y)(x+z)} = \sqrt[]{x^2+xz+xy+yz}$ \geq $\sqrt[]{2x\sqrt[]{yz}+x(y+z)}$

(Áp dụng Cô-si cho 2 số $x^2$ và $yz$)

=$\sqrt[]{x(y+z+2\sqrt[]{yz})} = \sqrt[]{x(\sqrt[]{y}+\sqrt[]{z})^2} = .....$

Ta nhầm, nghĩ chỉ dùng BĐT chéo.

----------------------------------------------------