Bđt

[tranvanhung7997]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn: $x^2 + y^2 + z^2 = 1$
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của:
$$P = \dfrac{x}{1 + yz} + \dfrac{y}{1 + zx} + \dfrac{z}{1 + xy}$$

Mọi người giúp đỡ cái
Giải càng nhiều cách càng tốt nhé mọi người

 

[654321sss]

Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn: $x^2 + y^2 + z^2 = 1$
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của:
$$P = \dfrac{x}{1 + yz} + \dfrac{y}{1 + zx} + \dfrac{z}{1 + xy}$$

Mọi người giúp đỡ cái
Giải càng nhiều cách càng tốt nhé mọi người

Từ điều kiện $x^2+y^2+z^2=1 $\Rightarrow $x,y,z \in [0;1]$
\Rightarrow $x(y-1)(z-1)+(x-1)(y+z-2)$ \geq $0$
\Rightarrow $x+y+z$ \leq $xyz+2$ \leq$ 2xyz+2$
\Rightarrow$P=\dfrac{x}{1+yz}+\dfrac{y}{1+zx}+ \dfrac{z}{1+xy} $
\leq $\frac{x+y+z}{1+xyz}$ \leq$ \frac{2+2xyz}{1+xyz}=2$
Vậy $P_{max}=2$ khi $x=y=1, z=0$.

 

[tranvanhung7997]

Từ điều kiện $x^2+y^2+z^2=1 $\Rightarrow $x,y,z \in [0;1]$
\Rightarrow $x(y-1)(z-1)+(x-1)(y+z-2)$ \geq $0$
\Rightarrow $x+y+z$ \leq $xyz+2$ \leq$ 2xyz+2$
\Rightarrow$P=\dfrac{x}{1+yz}+\dfrac{y}{1+zx}+ \dfrac{z}{1+xy} $
\leq $\frac{x+y+z}{1+xyz}$ \leq$ \frac{2+2xyz}{1+xyz}=2$
Vậy $P_{max}=2$ khi $x=y=1, z=0$.

Không phải dấu = xảy ra ở 2 số = 1 ; 1 số = 0 đâu bạn vì $x^2 + y^2 + z^2 = 1$
Mình nghĩ dấu = xảy ra là:
Min <=> 2 số = 0 ; 1 số = 1
Max <=> $x = y = z = \dfrac{1}{\sqrt[]{3}}$


Có ai giúp đỡ giùm!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[bosjeunhan]

Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn: $x^2 + y^2 + z^2 = 1$
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của:
$$P = \dfrac{x}{1 + yz} + \dfrac{y}{1 + zx} + \dfrac{z}{1 + xy}$$

Mọi người giúp đỡ cái
Giải càng nhiều cách càng tốt nhé mọi người

Mình nhác nghĩ, nhác làm nên cũng nói cái cách ngông ngông

Bạn đưa về ẩn $q,p,r$ rồi đưa BĐT về hàm ẩn $r$, hàm đó đồng biến

 

[viethoang1999]

Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn: $x^2 + y^2 + z^2 = 1$
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của:
$$P = \dfrac{x}{1 + yz} + \dfrac{y}{1 + zx} + \dfrac{z}{1 + xy}$$

Mọi người giúp đỡ cái
Giải càng nhiều cách càng tốt nhé mọi người

$\bullet $ Nếu đề bài cho $abc=1$ thì ngon nhỉ!
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz ta có:
$\sum \dfrac{a}{bc+1}=\sum \dfrac{a}{\dfrac{1}{a}+1}=\sum \dfrac{a^2}{1+a}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{3+a+b+c}$
Ta đi c/m:
$\dfrac{(a+b+c)^2}{3+a+b+c}\ge \dfrac{3}{2}$
\Leftrightarrow $t(2t-3)\ge 9$ với $t=a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}=3$
Với $t\ge 3$ thì bđt trên luôn đúng!

$\bullet $ Nếu đề bài cho $a+b+c=3$ thì ngon nhỉ!
Áp dụng AM-GM:
$\dfrac{a}{bc+1}=\dfrac{a^2}{abc+a}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{3abc+a+b+c}=\dfrac{9}{3abc+3}\ge \dfrac{9}{3 \left ( \dfrac{a+b+c}{3} \right )^3+3}=\dfrac{3}{2}$

+ Dùng biến đổi tương đương ta có:
$\dfrac{a}{1+bc}\le a$
\Rightarrow $\sum \dfrac{a}{1+bc}\le a+b+c=3$

Bài dự thi event box toán 10

 

[viethoang1999]

Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn: $x^2 + y^2 + z^2 = 1$
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của:
$$P = \dfrac{x}{1 + yz} + \dfrac{y}{1 + zx} + \dfrac{z}{1 + xy}$$

Mọi người giúp đỡ cái
Giải càng nhiều cách càng tốt nhé mọi người

Mở rộng vậy thôi, quay lại bài toán!

Đặt $x=\dfrac{1}{a};y=\dfrac{1}{b};z=\dfrac{1}{c}$
BDT \Leftrightarrow $\sum \dfrac{yz}{x(yz+1)}\le 2$
Có: $x;y;z\ge 1$ \Rightarrow $(y-1)(z-1)\ge 0$ \Leftrightarrow $yz\left ( \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \right ) \le yz+2$
+ Mà $\dfrac{1}{x}\le 1$
\Rightarrow $yz\left ( \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \right ) +yz.\dfrac{1}{x} \le yz+2+yz=2yz+2$.
\Rightarrow $yz. \sum \dfrac{1}{x}\le \dfrac{2}{x}(xyz+x)$
\Leftrightarrow $\dfrac{yz}{x(yz+1)}\le \dfrac{\dfrac{2}{x}}{\sum \dfrac{1}{x}}$
\Rightarrow $\sum \dfrac{yz}{x(yz+1)}\le 2$

Bài dự thi event box toán 10

 

[forum_]

BTC:

Đúng , +5đ

================================================