Bdt

[locxoaymgk]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho [TEX]a,b,c >0[/TEX]. Chứng minh:
[TEX] \frac{a^3}{b(c+a)}+\frac{b^3}{c(a+b)}+\frac{c^3}{a(b+c)} \geq \frac{a+b+c}{2}.[/TEX]

Bài 2: cho a,b,c \geq 0.CMR:
[TEX] \frac{a^2-bc}{b^2+c^2+2a^2}+\frac{b^2-ac}{a^2-c^2+2b^2}+\frac{c^2-bc}{a^2+b^2+2c^2} \geq 0.[/TEX]
Bài 3: Cho [TEX]a,b,c [/TEX]dương.
Cm BDT :
[TEX] \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}} \leq \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}[/TEX]
[TEX] (a+b)(b+c)(c+a) \geq \frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}.[/TEX]
Bài 4:[TEX] Cho a,b>0. CM:[/TEX]
[TEX] \frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3\geq \frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b.[/TEX]
Bài 5: Bài 5(THCS):Cho các số thực dương thõa mãn dk a+b+c=1 CMR:

Cái bài này thấy bigbang làm chả hiểu cái gì,mà hình như BDT ngược chiều thì phải )
Chú ý: Dùng kí hiệu thông thường!!

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Bài 3: Cho [TEX]a,b,c [/TEX]dương.
Cm BDT :
[TEX] \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}} \leq \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}[/TEX]

giả sử [TEX]ab+bc+ac=3[/TEX] thi đó [TEX]a+b+c \geq3[/TEX] và[TEX] abc\leq1 (*)[/TEX] (*)
[TEX]\Rightarrow \sqrt[]{\frac{ab+bc+ac}{3}}=1[/TEX]
mà ta có
[TEX](a+b)(b+c)(a+c)=(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3(a+b+c)-abc \geq 8 theo (*)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{8}}\geq1[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow dpcm[/TEX]
dấu = xảy ra <=> a=b=c

Ta có BDT cơ bản sau :
[TEX]9(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8(a+b+c)(ab+bc+ca) [/TEX]
Chỉ cần để ý hằng đẳng thức :
[TEX](a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc[/TEX] là chứng minh dễ dàng

Áp dụng BDT trên kết hợp [TEX]a+b+c \ge \sqrt{3(ab+bc+ca)}[/TEX] thì ta có điều phải chứng minh

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

[TEX] (a+b)(b+c)(c+a) \geq \frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}.[/TEX]

[TEX] (a+b)(b+c)(c+a) \geq \frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}.[/TEX]
bài này biến đổi tương đương thi ta đc
[TEX](a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc (1)[/TEX]
theo cosi =>(1) luôn đúng
dấu bằng xảy ra [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] a=b=c

bài cuối cùng đk thì x,y,z mà chứng minh thì lại là a,b,c =="

 

[locxoaymgk]

[TEX] (a+b)(b+c)(c+a) \geq \frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}.[/TEX]
bài này biến đổi tương đương thi ta đc
[TEX](a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc (1)[/TEX]
theo cosi =>(1) luôn đúng
dấu bằng xảy ra [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] a=b=c

giả sử [TEX]ab+bc+ac=3[/TEX] thi đó [TEX]a+b+c \geq3[/TEX] và[TEX] abc\leq1 (*)[/TEX] (*)
[TEX]\Rightarrow \sqrt[]{\frac{ab+bc+ac}{3}}=1[/TEX]
mà ta có
[TEX](a+b)(b+c)(a+c)=(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3(a+b+c)-abc \geq 8 theo (*)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{8}}\geq1[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow dpcm[/TEX]
dấu = xảy ra <=> a=b=c

Ko hiểu, làm sao có thể giả sử a+b+c=3 dc ạ!
Mà cái

bạn giải thích rõ cái ! (sinh ra đã ngu toán vì vậy cần phải giải chi tiết!)

Thêm bài nữa

Nguyên văn bởi kiepcodondoicodoc1410
cho a,b,c > 0: abc = 1. chứng minh rằng:

Cách giải: Nguyên văn bởi letrang3003:
Theo AM-Gm ta có:

\Rightarrow

Làm sao cộng vào nhau nó ko ra nhỉ? bạn làm ơn chỉ hộ mình!!

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Bài 1: Cho [TEX]a,b,c >0[/TEX]. Chứng minh:
[TEX] \frac{a^3}{b(c+a)}+\frac{b^3}{c(a+b)}+\frac{c^3}{a(b+c)} \geq \frac{a+b+c}{2}.[/TEX]

áp dụng cosi cho ba số ta có
[TEX] \sum_{}\frac{a^3}{b(a+c)}+\frac{b}{2}+\frac{a+c}{4} \geq \frac{3a}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] đpcm
dấu = xảy ra khi a=b=c

 

[_banglangtim_114_]

áp dụng cosi cho ba số ta có
[TEX] \sum_{}\frac{a^3}{b(a+c)}+\frac{b}{2}+\frac{a+c}{4} \geq \frac{3a}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] đpcm
dấu = xảy ra khi a=b=c

Bạn ơi,lần sau có post thì post cùng một lúc,đừng có 3 phút lại 1 bài nữa!!!

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Ko hiểu, làm sao có thể giả sử a+b+c=3 dc ạ!
Mà cái
[TEX] (a+b)(b+c)(c+a) \geq \frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}.[/TEX]
bạn giải thích rõ cái ! (sinh ra đã ngu toán vì vậy cần phải giải chi tiết!)

^^" Bài đó ta dễ dàng đoán đc a=b=c nên có thể giả sử đc như vậy bạn cũng có thể giả sử a+b+c=6 nhưng a+b+c=3 là làm nó dễ dàng hơn
còn bài kia mình đã bảo biến đổi tương đương mà ( mà hiểu biến đổi tương đương là j ah==" )
[TEX] (a+b)(b+c)(c+a) \geq \frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}.[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 9(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8(a+b+c)(ab+bc+ac)[/TEX]
nhân tung VP ta có :[TEX]8(a+b+c)(ab+bc+ac)= 8(a+b)(b+c)(c+a) +8abc [/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc[/TEX]
thế này thì đã hiểu chưa =="

Thêm bài nữa

Nguyên văn bởi kiepcodondoicodoc1410
cho a,b,c > 0: abc = 1. chứng minh rằng:

Cách giải: Nguyên văn bởi letrang3003:
Theo AM-Gm ta có:

\Rightarrow

Làm sao cộng vào nhau nó ko ra nhỉ? bạn làm ơn chỉ hộ mình!!

cách giải của Trang đúng rồi
nghĩa là tương tự cho các phân số tiếp theo
rồi bạn cộng lại là đc

 

[_banglangtim_114_]

^^" Bài đó ta dễ dàng đoán đc a=b=c nên có thể giả sử đc như vậy bạn cũng có thể giả sử a+b+c=6 nhưng a+b+c=3 là làm nó dễ dàng hơn
còn bài kia mình đã bảo biến đổi tương đương mà ( mà hiểu biến đổi tương đương là j ah==" )
[TEX] \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}} \leq \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 9(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8(a+b+c)(ab+bc+ac)[/TEX]
nhân tung VP ta có :[TEX]8(a+b+c)(ab+bc+ac)= 8(a+b)(b+c)(c+a) +8abc [/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc[/TEX]
thế này thì đã hiểu chưa =="




cách giải của Trang đúng rồi
nghĩa là tương tự cho các phân số tiếp theo
rồi bạn cộng lại là đc

e..hem!
Bạn giải thẳng ra xem nào,cứ nửa mò nửa ko vậy người khác đoán làm sao!!
Bạn xem lại phông chữ đi, không nhìn thấy gì cả!! =((=((
Tốt nhất là giải thẳng ra, đừng có ngồi chỉ tay vậy nữa!!
mình ko hiểu,mà chỉ nói như vậy nhưng mình biết lời giải đấy là đúng, bạn phải diễn nó ra chứ!

 

[locxoaymgk]

Ko hiểu, làm sao có thể giả sử a+b+c=3 dc ạ!
Mà cái

bạn giải thích rõ cái ! (sinh ra đã ngu toán vì vậy cần phải giải chi tiết!)

Thêm bài nữa

Nguyên văn bởi kiepcodondoicodoc1410
cho a,b,c > 0: abc = 1. chứng minh rằng:

Cách giải: Nguyên văn bởi letrang3003:
Theo AM-Gm ta có:

\Rightarrow

Làm sao cộng vào nhau nó ko ra nhỉ? bạn làm ơn chỉ hộ mình!!

Vẫn không hiểu!!
Theo AM-GM ta có:

CMTT rồi cộng từng vế ta có:

Cái này làm sao ấy nhỉ?

 

[conan_edogawa93]

Vẫn không hiểu!!
Theo AM-GM ta có:

CMTT rồi cộng từng vế ta có:

Cái này làm sao ấy nhỉ?

nó có làm sao đâu em )
thì cứ thế mà Cauchy thôi
[tex]\frac{3(a+b+c)}{4}-\frac{3+a+b+c}{4}=\frac{2(a+b+c)-3}{4}\ge^{AM-GM}\frac{2.3\sqrt{abc}-3}{4}=\frac{3}{4}[/tex] [tex]**do::abc=2[/tex]

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Vẫn không hiểu!!
Theo AM-GM ta có:

CMTT rồi cộng từng vế ta có:

Cái này làm sao ấy nhỉ?

không phải dấu bằng mà là là dấu[TEX] \geq[/TEX]
đến đó là đúng rồi ta phân tích tiếp :
[TEX]VT \geq \frac{3(a+b+c)}{4}-\frac{3+a+b+c}{4} = \frac{2(a+b+c)-3}{4}[/TEX]
lại có : áp dụng cosi 3 số :
[TEX]\Rightarrow a+b+c\geq3 (abc=1)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2(a+b+c)-3 \geq 3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{2(a+b+c)-3}{4}\geq\frac{3}{4}[/TEX]
Mình chỉ có thể giải thích như thế này thôi

 

[conan_edogawa93]

Ko hiểu, làm sao có thể giả sử a+b+c=3 dc ạ!
Mà cái

bạn giải thích rõ cái ! (sinh ra đã ngu toán vì vậy cần phải giải chi tiết!)

Bài này nếu đặt [tex]a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r=>\\c/m::9(pq-r)\ge 8pq<=>pq\ge 9r[/tex] Luôn đúng theo Schur còn gì nữa )
*******: Còn với bài như bạn miko_tinhnghich_dangyeu::Giả sử [tex]ab+bc+ca=3[/tex] thì tốt nhất không nên áp dụng . Vì nó là PP chuẩn hóa chỉ áp dụng đối với học sinh chuyên Toán Cấp III, lớp 9 thì nên sử dụng AM_GM và Bunhiacopxki cơ bản thôi . Còn nếu giải thích tại sao lại có thể chuẩn hóa như thế thì
[tex]BDT-can-c/m<=>\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}:\sqrt{\frac{(ab+bc+ca)^3}{27}}}\ge 1\\<=>\sqrt[3]{\sqrt{\frac{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}{64.(\frac{ab+bc+ca}{3})^3}}}\ge 1\\<=>\sqrt[3]{\frac{1}{8}\sqrt{\prod(\frac{a}{\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}}+\frac{b}{\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}})^2}}\ge 1[/tex]
Tới đây ta để ý.Nếu
[tex]x=\frac{a}{ab+bc+ca};y=\frac{b}{ab+bc+ca};z=\frac{c}{ab+bc+ca}[/tex] thì ta có [tex]xy+yz+zx=3[/tex] . Cơ sở để chuẩn hóa [tex]ab+bc+ca=3[/tex] đấy
Còn Nếu biến đổi như trên để chứng minh với [tex]x,y,z[/tex] thì bài toán chỉ còn ::
[tex]\sqrt[3]{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}}\ge 1[/tex] đúng theo AM-GM
Có thể sử dụng biến đổi tương đương khác để đi chuẩn hóa [tex]a+b+c=1[/tex]Hoặc [tex]abc=1[/tex] bài toán cũng chứng minh trở nên đơn giản .
*********Một cách khác, nếu để ý hai BĐT::
[tex]9(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8(a+b+c)(ab+bc+ca)\\va:::(a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)[/tex] thì chỉ cần 2 dòng là có điều phải chứng minh

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Bài này nếu đặt [tex]a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r=>\\c/m::9(pq-r)\ge 8pq<=>pq\ge 9r[/tex] Luôn đúng theo Schur còn gì nữa )
*******: Còn với bài như bạn miko_tinhnghich_dangyeu::Giả sử [tex]ab+bc+ca=3[/tex] thì tốt nhất không nên áp dụng . Vì nó là PP chuẩn hóa chỉ áp dụng đối với học sinh chuyên Toán Cấp III, lớp 9 thì nên sử dụng AM_GM và Bunhiacopxki cơ bản thôi . Còn nếu giải thích tại sao lại có thể chuẩn hóa như thế thì
[tex]BDT-can-c/m<=>\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}:\sqrt{\frac{(ab+bc+ca)^3}{27}}}\ge 1\\<=>\sqrt[3]{\sqrt{\frac{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}{64.(\frac{ab+bc+ca}{3})^3}}}\ge 1\\<=>\sqrt[3]{\frac{1}{8}\sqrt{\prod(\frac{a}{\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}}+\frac{b}{\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}})^2}}\ge 1[/tex]
Tới đây ta để ý.Nếu
[tex]x=\frac{a}{ab+bc+ca};y=\frac{b}{ab+bc+ca};z=\frac{c}{ab+bc+ca}[/tex] thì ta có [tex]xy+yz+zx=3[/tex] . Cơ sở để chuẩn hóa [tex]ab+bc+ca=3[/tex] đấy
Còn Nếu biến đổi như trên để chứng minh với [tex]x,y,z[/tex] thì bài toán chỉ còn ::
[tex]\sqrt[3]{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}}\ge 1[/tex] đúng theo AM-GM
Có thể sử dụng biến đổi tương đương khác để đi chuẩn hóa [tex]a+b+c=1[/tex]Hoặc [tex]abc=1[/tex] bài toán cũng chứng minh trở nên đơn giản .
*********Một cách khác, nếu để ý hai BĐT::
[tex]9(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8(a+b+c)(ab+bc+ca)\\va:::(a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)[/tex] thì chỉ cần 2 dòng là có điều phải chứng minh

=="
nhìn thế này em ko chắc là locxoaymgk hiểu đâu ạ !!^^"
anh làm thế nhìn còn rối hơn cách của em !!
em thấy nếu chỉ cần dùng mỗi BĐt cosi làm bài này thì cách này là nhanh nhất :

Ta có BDT cơ bản sau :
[TEX]9(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8(a+b+c)(ab+bc+ca) [/TEX]
Chỉ cần để ý hằng đẳng thức :
[TEX](a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc[/TEX] là chứng minh dễ dàng

Áp dụng BDT trên kết hợp [TEX]a+b+c \ge \sqrt{3(ab+bc+ca)}[/TEX] thì ta có điều phải chứng minh

 

[conan_edogawa93]

Cái bài này thấy bigbang làm chả hiểu cái gì,mà hình như BDT ngược chiều thì phải Chú ý: Dùng kí hiệu thông thường!![/COLOR]

Làm bài 5 Mình nghi cái đề sai quá, xét theo điểm rơi nó không phải là 1
[tex]BDT<=>\sum\frac{a^2}{\sqrt{5-2(1-a)}}=\sum\frac{a^2}{\sqrt{3+2a}}\ge^{cauchy-schwarz}\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{3+2a}+\sqrt{3+2b}+\sqrt{3+2c}}\\Bunhiacopxki::\sqrt{3+2a}+\sqrt{3+2b}+\sqrt{3+2c}\le\sqrt{3.(9+6)}=3\sqrt{5}\\=>VT\ge \frac{1}{3\sqrt{5}}[/tex] Quái quỷ , mình không ra như đề bài )

=="
nhìn thế này em ko chắc là locxoaymgk hiểu đâu ạ !!^^"
anh làm thế nhìn còn rối hơn cách của em !!
em thấy nếu chỉ cần dùng mỗi BĐt cosi làm bài này thì cách này là nhanh nhất :

Không thấy chị ghi chú hai BĐT phía dưới à . Nhưng mà muốn áp dụng nó thì cũng phải đi chứng minh chứ ).Chị chỉ đi giải thích cơ sở mà em đi chuẩn hóa thôi em

 

[conan_edogawa93]

Bài 2: cho a,b,c \geq 0.CMR:
[TEX] \frac{a^2-bc}{b^2+c^2+2a^2}+\frac{b^2-ac}{a^2-c^2+2b^2}+\frac{c^2-bc}{a^2+b^2+2c^2} \geq 0.[/TEX]

Bài này dùng SOS , mà đề là thế nào ấy nhỉ ?? Rốt cục 3 cái mẫu của 3 biểu thức có đối xứng ko đây??? Lúc cộng lúc trừ không biết đâu mà mò

 

[thienlong_cuong]

Bài 4:[TEX] Cho a,b>0. CM:[/TEX]
[TEX] \frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3\geq \frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b.[/TEX]
Chú ý: Dùng kí hiệu thông thường!!

Theo holder thì (nghe giang hồ đồn)

[TEX]VT(1 + 1 + 1)(1 + 1 + 1) \geq VP^3[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 9VT \geq VP^3 [/TEX] (*)
Cần chứng minh
[TEX]VP^2 \geq 9[/TEX] (*)(*)

Dễ thấy

[TEX]\frac{1}{a} + \frac{a}{b} + b \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{a}.\frac{a}{b}.b} = 3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VP^2 \geq [/TEX] (oh my god ! mạnh quá mẹ ơi)

lấy (*) chia cho (*)(*) \Rightarrow VT \geq VP (đpcm)
>??????????


Ko thì cứ dùng [TEX]AM - GM[/TEX]
[TEX]\frac{1}{a^3} + 1 + 1 \geq 3.\frac{1}{a}[/TEX]

Cứ tiếp tục sẽ đến cục cần tìm

[TEX]i^2 \bigcap_{}^{} \sum[/TEX]

 

[duynhan1]

Bài 4:[TEX] Cho a,b>0. CM:[/TEX]
[TEX] \frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3\geq \frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b.[/TEX]

Đặt [TEX]x=\frac{1}{a},\ y = \frac{a}{b}, z=b [/TEX]

[TEX]\Rightarrow xyz = 1[/TEX]. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

[TEX]x^3 + y^3 + z^3 \ge x+y+z[/TEX]

Điều này luôn đúng do :
[TEX]\left{ x^3 + 1 + 1 \ge 3x \Rightarrow x^3 + y^3 + z^3 \ge 3(x+y+z) - 6 \\ x+y+z \ge 3\sqrt[3]{xyz} = 3 [/TEX]