BĐT với Max- Min

[diemhang307]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [TEX]x, y , z > 0 [/TEX] thỏa mãn : [TEX]xy+yz+zx= 1[/TEX]

Tìm [TEX]Min[/TEX] : [TEX]S= \frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}[/TEX]

 

[dungnhi]

Cho [TEX]x, y , z > 0 [/TEX] thỏa mãn : [TEX]xy+yz+zx= 1[/TEX]

Tìm [TEX]Min[/TEX] : [TEX]S= \frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}[/TEX]

[TEX]xy+yz+xz \leq (x^2 +y^2+z^2)^2[/TEX]
<=>
[TEX]1 \leq x^2+y^2+z^2[/TEX]


[TEX] S= \frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}[/TEX]
[TEX]= \frac{x^2}{x-x^3}+\frac{y^2}{y-y^3}+\frac{z^2}{z-z^3}[/TEX]

Xét hàm[TEX] f(a) = a-a^3[/TEX] đạt max = [TEX]\frac{2}{3.\sqrt{3}}[/TEX] tại a= [TEX]\frac{1}{\sqrt{3}}[/TEX]
=> [TEX]S min = \frac{3.\sqrt{3}}{2}.(x^2+y^2+z^2) \geq \frac{3.\sqrt{3}}{2}[/TEX]

 

[traquangquy]

Cho [TEX]x, y , z > 0 [/TEX] thỏa mãn : [TEX]xy+yz+zx= 1[/TEX]

Tìm [TEX]Min[/TEX] : [TEX]S= \frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}[/TEX]

[TEX]x^2+y^2+z^2\geq1[/TEX]
[TEX]\frac{x}{1-x^2}=\frac{x^2}{x(1-x^2)}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{x(1-x^2)}\geq\frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]
cm [TEX]\frac{1}{x(1-x^2)}\geq\frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]x(1-x^2)\leq\frac{2}{3\sqrt{3}}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2(1-x^2)^2\leq\frac{4}{27}[/TEX]
[TEX]2x^2(1-x^2)(x-x^2)\leq(\frac{2x^2+1-x^2+1-x^2}{3})^3=\frac{8}{27}[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]x^2(1-x^2)^2\leq\frac{4}{27}[/TEX]
[TEX]\frac{x}{1-x^2}=\frac{x^2}{x(1-x^2)}\geq\frac{3\sqrt{3}x^2}{2}[/TEX]
cộng theo vế có \geq[TEX]\frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX][TEX](x^2+y^2+z^2)[/TEX]\geq[TEX]\frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]


:-SS:-SS:-SSko bik đúng hông

 

[traquangquy]

tiện thể cho hỏi cái bdt này
ngó quen quen như ko bik làm
cho 3 số thực [TEX]a;b;c[/TEX] thoả mãn [TEX]a[/TEX]\geq[TEX]b[/TEX]\geq[TEX]c[/TEX]\geq[TEX]0[/TEX]

cm [TEX]\frac{a^2-b^2}{c}+\frac{c^2-b^2}{a}+\frac{a^2-c^2}{b}\geq3a-4b+c[/TEX]