Toán BĐT và Cực trị

[Uchiha Sasuke']

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Cho 3 số a,b,c dương. CM:
[tex]\frac{(b+c+2a)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{(a+c+2b)^{2}}{2b^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{(a+b+2c)^{2}}{2c^{2}+(a+b)^{2}}\geqslant 8[/tex]

2,Cho x,y thỏa mãn [tex]0< x,y\leqslant 1[/tex] và x+y=3xy. Tìm GTLN và GTNN của
biểu thức P= [tex]x^{2}+y^{2}-4xy[/tex]

 

[Tú Tí Tỡn ( Vozer)]

1)
áp dụng bđt svác
[tex]VT\geq \frac{16(a+b+c)^{2}}{4a^{2}+4b^{2}+4c^{2}+2ab+2bc+2ca}=\frac{8(a+b+c)^{2}}{2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+ab+bc+ca}[/tex].
tức là ta cần Chứng minh thứ bầy nhầy trên đó >=8
thật vậy
[tex]\frac{8(a+b+c)^{2}}{2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+ab+bc+ca}\geq 8\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}\geq 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+ab+bc+ca\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0[/tex] đúng
dấu = xảy ra khi a=b=c
2)
[tex]P=(x+y)^{2}-6xy=(x+y)^{2}-2(x+y)[/tex]
đặt x+y=m ([tex]0<m\leq 2[/tex])
suy ra bài toán trở thành. 0<m<=2 tìm min max của
[tex]m^{2}-2m[/tex]
đến đây bạn làm theo cách đò thị là tối ưu ( cách khác cũng đc). từ đoạn 0 đến 2 thì Pmax=0 khi m=2; Pmin=-1 khi m=1

 

[Uchiha Sasuke']

1)
áp dụng bđt svác
[tex]VT\geq \frac{16(a+b+c)^{2}}{4a^{2}+4b^{2}+4c^{2}+2ab+2bc+2ca}=\frac{8(a+b+c)^{2}}{2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+ab+bc+ca}[/tex].
tức là ta cần Chứng minh thứ bầy nhầy trên đó >=8
thật vậy
[tex]\frac{8(a+b+c)^{2}}{2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+ab+bc+ca}\geq 8\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}\geq 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+ab+bc+ca\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0[/tex] đúng
dấu = xảy ra khi a=b=c
2)
[tex]P=(x+y)^{2}-6xy=(x+y)^{2}-2(x+y)[/tex]
đặt x+y=m ([tex]0<m\leq 2[/tex])
suy ra bài toán trở thành. 0<m<=2 tìm min max của
[tex]m^{2}-2m[/tex]
đến đây bạn làm theo cách đò thị là tối ưu ( cách khác cũng đc). từ đoạn 0 đến 2 thì Pmax=0 khi m=2; Pmin=-1 khi m=1

bài 1 đề phải sửa là [tex]\leqslant[/tex] 8
còn bài 2 cách làm của bạn không thỏa mãn ĐK