BĐT và cực trị:

[tuananh8]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

I)Phép biến đổi tương đương:
VD: Cho a, b, c> 0.CMR [TEX]a^3+b^3+abc \geq ab(a+b+c)[/TEX]
Giải:[TEX]a^3+b^3+abc \geq ab(a+b+c) \Leftrightarrow a^3+b^3+abc \geq a^2b+ab^2+abc[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2 \Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2) \geq ab(a+b)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2 \geq 0[/TEX] mà a, b>0 nên a+b>0.
[TEX]\Rightarrow(a+b)(a-b)^2 \geq 0[/TEX] luôn đúng nên BĐT đã cho đúng.
VD2: Cho a, b, c>0.CMR:
[TEX]\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a} \geq a+b+c[/TEX]
Giải: [TEX]\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a} \geq a+b+c[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2 \geq abc(a+b+c)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2) \geq 2abc(a+b+c)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a^2b^2 +b^2c^2-2ab^2c)+(a^2b^2 + a^2c^2- 2a^2bc) +(b2c2 + c^2a^2 - 2abc^2)\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow b^2(a - c)^2 + a^2(b - c)^2 + c^2(a - b)^2 \geq 0[/TEX] luôn đúng nên BĐT đã cho đúng.
VD3: cho [TEX]ab \geq 1[/TEX].CMR:
[TEX]\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1} \geq \frac{2}{ab+1}(1)[/TEX]
Giải: [TEX](1) \Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{a^2+b^2+1+a^2b^2} \geq \frac{2}{ab+1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a^2+b^2+2)(ab+1) \geq 2(a^2+b^2+a^2b^2+1)[/TEX](vì [TEX]ab \geq 1[/TEX])
[TEX]\Leftrightarrow a^3b+ab^3-2a^2b^2-a^2-b^2+2ab \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ab(a^2-2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2) \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2 \geq 0[/TEX] luôn đúng.
Đẳng thức xẩy ra khi ab=1, a=b.
VD4: Cho [TEX]a,b>0;m>n;m,n \in N[/TEX].CMR:
[TEX]\frac{a^m-b^m}{a^m+b^m} \geq \frac{a^n-b^n}{a^n+b^n}[/TEX](*)
Giải: [TEX](*) \Leftrightarrow (a^m-b^m)(a^n+b^n) \geq (a^n-b^n)(a^m+b^m)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^ma^n+a^mb^n-b^ma^n-b^mb^n > a^na^m+a^nb^m-b^na^m-b^mb^n[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2a^nb^n(a^{m-n}-b^{m-n})>0[/TEX].Luôn đúng nên BĐT đã cho đúng.
Bài tập:
1)Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.CM:
[TEX]a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2 > a^3+b^3+c^3[/TEX]
2)CMR: [TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
3)CM:[TEX]\sqrt[]{a^2+b^2}+\sqrt[]{c^2+d^2} \geq \sqrt[]{(a+c)^2+(b+d)^2}[/TEX]
4)[TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{3} \geq (\frac{a+b+c}{3})^2[/TEX]
Mỏi tay wá, mai mình sẽ post típ

 

[huynh_trung]

4)[TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{3} \geq (\frac{a+b+c}{3})^2[/TEX]

[TEX]\frac{a^2+b^2+c^2}{3} \geq (\frac{a+b+c}{3})^2 \Leftrightarrow 3(a^2 + b^2 + c^2) \geq a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac[/TEX]
[TEX]2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac \geq 0 \Leftrightarrow (a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2 \geq 0[/TEX](luôn luôn đúng)
[TEX]\Rightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{3} \geq (\frac{a+b+c}{3})^2[/TEX](đpcm)

 

[shyhaeky_1111]

mình nghĩ là tuananh8 ra đề sai rùi, theo mình bít thì BĐT đó là BĐT Nesbit, nếu là BĐT Nesbit thì phải có thêm điều kiện x, y, z>0 nữa. Sau đây là mình chứng minh theo BĐT nesbit:
[TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x}{y+z}-\frac{1}{2}+\frac{y}{x+z}-\frac{1}{2}+\frac{z}{x+y}-\frac{1}{2}\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{2x-y-z}{y+z}+\frac{2y-x-z}{x+z}+\frac{2z-y-x}{y+x}\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x-y}{y+z}+\frac{x-z}{y+z}+\frac{y-x}{x+z}+\frac{y-z}{x+z}+\frac{z-y}{y+x}+\frac{z-x}{y+x}\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+z})+(x-z)(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+y})+(y-z)(\frac{1}{x+z}-\frac{1}{x+y})\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)(\frac{x-y}{(y+z)(x+z)})+(x-z)(\frac{x-z}{(x+y)(y+z)})+(y-z)(\frac{y-z}{(x+z)(x+y)})\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2}{(y+z)(x+z)}+\frac{(x-z)^2}{(y+x)(y+z)}+\frac{(y-z)^2}{(x+z)(x+y)}\geq 0[/TEX]
(Đây là BĐT đúng vì x,y,z>0)
Vậy[TEX] \frac {x}{y+z} + \frac {y}{x+z}+ \frac {z}{x+y} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

 

[huynh_trung]

Bài 2 nè bà con ơi:
[TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x}{y+z}-\frac{1}{2}+\frac{y}{x+z}-\frac{1}{2}+\frac{z}{x+y}-\frac{1}{2}\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{2x-y-z}{y+z}+\frac{2y-x-z}{x+z}+\frac{2z-y-x}{y+x}\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x-y}{y+z}+\frac{x-z}{y+z}+\frac{y-x}{x+z}+\frac{y-z}{x+z}+\frac{z-y}{y+x}+\frac{z-x}{y+x}\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+z})+(x-z)(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+y})+(y-z)(\frac{1}{x+z}-\frac{1}{x+y})\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)(\frac{x-y}{(y+z)(x+z)})+(x-z)(\frac{x-z}{(x+y)(y+z)})+(y-z)(\frac{y-z}{(x+z)(x+y)})\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2}{(y+z)(x+z)}+\frac{(x-z)^2}{(y+x)(y+z)}+\frac{(y-z)^2}{(x+z)(x+y)}\geq 0[/TEX]
(Đây là BĐT đúng vì y+z >0, x+z >0, y+x >0 do x, y, z là ba cạnh tam giác)
Vậy [TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

Tập đánh lại công thức đi chứ """"""http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=4917"""""
thế này cho để nhìn
mà bạn cũng nhầm to òi xem lại thử nha đây là bài 2 chứ hok phải là bài 1 (đâu có x,y,z là 3 cạnh của tam giác)

 

[huynh_trung]

2)CMR: [TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

bài này mình còn cách khác nữa nè:
[TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

đặc
[TEX]A = \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} [/TEX]

[TEX]B = \frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}+\frac{x}{x+y} [/TEX]

[TEX]C = \frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{x+y} [/TEX]

Ta có B + C = 3

[TEX]B + A = \frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+z}+\frac{z+x}{x+y} \geq 3[/TEX]

[TEX]C + A = \frac{x+z}{y+z}+\frac{x+y}{x+z}+\frac{y+z}{x+y} \geq 3[/TEX]

vậy[TEX]B + C + 2A \geq 6 \Rightarrow 2A \geq 3 [/TEX]

vậy [TEX]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}[/TEX](đpcm)

 

[huynh_trung]

cái bài 2 đây là có thể làm rất nhiều cách nữa.....