BĐT trong đề thi HSG lop 12 TP Hà Nội năm 2011-2012 ...ai đủ nhiệt zô nào!

[katanaoa]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y,z là các số thưc dương . Đặt [TEX]P = x^2y+y^2z+z^2x[/TEX]
CMR [TEX]P <\frac{4}{27}[/TEX] với [TEX]x+y+z =1[/TEX]

 

[duynhan1]

Bài toán này còn tổng quát mạnh hơn: "Cho ba số x,y,z không âm. Chứng minh rằng
[tex]x^2y+y^2z+z^2x+xyz\leq \frac{4}{27}(x+y+z)^3[/tex]"

Không mất tính tổng quát giả sử: [TEX]x(y-z)(x-z) \le 0 \Leftrightarrow x^2y + z^2 x \le xyz +x^2z [/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2y+y^2z+z^2x+xyz \le z ( x+y)^2 = 4. z . \frac{x+y}{2} . \frac{x+y}{2} \le \frac{4}{27} (x+y+z)^3[/TEX]