BĐT & tìm nghiệm nguyên

[vietanb2]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Cho 3 số a,b,c >0. CMR: [tex]\frac{1}{a^3 + b^3 + abc} + \frac{1}{ b^3 + c^3 + abc} + \frac{1}{ c^3 + a^3 + abc} \leq \frac{1}{abc}[/TEX]

2, Tìm x, y nguyên thỏa mãn : $x + y + xy +2 = x^2 + y^2$

 

[pe_lun_hp]

1, Cho 3 số a,b,c >0. CMR: [tex]\frac{1}{a^3 + b^3 + abc} + \frac{1}{ b^3 + c^3 + abc} + \frac{1}{ c^3 + a^3 + abc} \leq \frac{1}{abc}[/tex]

$\text{Áp dụng : } \\ a^3 + b^3 \geq ab(a+b)$

$\Rightarrow a^3 + b^3 + abc \geq ab(a+b) + abc = ab( a+b+c)$

$\Rightarrow \dfrac{1}{a^3 + b^3 + abc} \geq \dfrac{1}{ ab( a+b+c)} \\ \text{tương tự và cộng lại}$

 

[c2nghiahoalgbg]

Bài 1:
Bằng biến đổi tương đương ta chứng minh đc BĐT sau:
$a^3+b^3$\geqab(a+b)
\Rightarrow$\frac{1}{a^3+b^3+abc}$\leq$\frac{ab(a+b)+abc}=\frac{1}{ab(a+b+c}$
Thiết lập các BDT tương tự ta có:
$\frac{1}{b^3+c^3+abc}$\leq$\frac{1}c{bc(b+c)+abc}=\frac{1}{bc(a+b+c}$
và
$\frac{1}{c^3+a^3+abc}$\leq$\frac{1}{ca(a+b)+abc}=\frac{1}{ca(a+b+c}$
Tương tự và cộng lại ta đc đpcm

 

[lanhnevergivesup]

[TEX]\Leftrightarrow x^2+y^2-x-y-xy-2=0[/TEX] (1)
[TEX]\Leftrightarrow x^2-x(y+1)+( y^2-y-2)=0[/TEX]
Ta có Delta = [TEX] [-(y+1)]^2 -4( y^2-y-2)[/TEX]
= [TEX]y^2 + 2y +1-4y^2 +4y+8[/TEX]
Đề pt có nghiệm nguyên thì [TEX] -3y^2+6y+9\geq0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow -3(y-1)^2 + 12 \geq0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow (y-1)^2 \leq 4[/TEX]
Xét các trường hợp
y-1=0 \Rightarrow y=1 \Rightarrow
y-1= -1 \Rightarrow y=0
y-1=1\Rightarrow y=2
y-1=-2\Rightarrow y=-1
y-1=2\Rightarrowy=3
sau đó thế vào pt (1) => x và loại nghiệm k thích hợp