BĐT thi hsg

[potter97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

có ai giải hộ bđt này với
cho x,y,z>0,xyz=1
tìm max P
[TEX]\frac{x^2y^2}{2x^2+y^2+3x^2y^2}[/TEX] + [TEX]\frac{y^2z^2}{2y^2+x^2+3y^2z^2}[/TEX] + [TEX]\frac{z^2x^2}{2z^2+x^2+3x^2z^2}[/TEX]

dấu cộng các phân số nha

 

[soicon_boy_9x]

Cái phân thức giữa theo quy luật phải là $\dfrac{y^2z^2}{2y^2+z^2+3y^2z^2}$ nhé

Đặt $xy=c \ \ \ \ \ yz=a \ \ \ \ \ \ zx=b$. Từ giả thiết ta có $abc=1$

Ta có: $\dfrac{x^2y^2}{2x^2+y^2+3x^2y^2}=\dfrac{x^2y^2z^2}
{2x^2z^2+y^2z^2+3x^2y^2z^2}=\dfrac{1}{2b^2+a^2+3} \leq \dfrac{1}
{2ab+2b+2}$

Tương tự $\dfrac{y^2z^2}{2y^2+z^2+3y^2z^2} \leq \dfrac{1}
{2bc+2c+2}$

Tương tự $\dfrac{z^2x^2}{2z^2+x^2+3z^2x^2} \leq \dfrac{1}
{2ac+2a+2}$

Cộng từng vế ta được:

$P \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+
\dfrac{1}{ab+a+1})$

Dễ chứng minh $\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{1}
{ab+a+1}=1$ với $abc=1$

$\leftrightarrow P \leq \dfrac{1}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$