Dễ chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi $x > \frac{3}{10}$ :
$$ \frac{x}{x^2+2} \le \frac{1}{3}+\frac{\ln (x)}{9} \ \ (\text{*}) $$
Do vai trò $a,b,c$ như nhau , không mất tính tổng quát có thể giả sử :
$$ c=\text{min} \{ a,b,c \} $$
Xét các trường hợp :
- $c > \frac{3}{10}$ : Khi đó dùng bất đẳng thức $(\text{*})$ có:
$$ \frac{a}{a^2+2}+\frac{b}{b^2+2}+\frac{c}{c^2+2} \le 1+\frac{\ln (abc)}{9} =1 $$
- $c \le \frac{3}{10}$ : Dùng AM-GM có :
$$ \frac{a}{a^2+2} \le \frac{a}{2a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4} $$
Tương tự :
$$ \frac{b}{b^2+2} \le \frac{\sqrt{2}}{4} $$
Và :
$$ \frac{30}{209}-\frac{c}{c^2+2}=\frac{(10c-3)(3c-20)}{209(c^2+2)} \ge 0 $$
Suy ra :
$$ \frac{a}{a^2+2}+\frac{b}{b^2+2}+\frac{c}{c^2+2} \le \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{30}{209} < 1 $$
Như vậy trong điều kiện bài toán thì luôn có :
$$ \frac{a}{a^2+2}+\frac{b}{b^2+2}+\frac{c}{c^2+2} \le 1 $$
với a,b,c > 0 và abc=1 hãy cmr
[TEX]\sum \frac{a}{a^2+2} \leq 1[/TEX]
lâu rồi cai bđt giờ ngu hẳn
Đầu tiên , chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi $ \displaystyle x > 0 $
$$ \frac{1+x^2}{2(x^4+x^2+1)} \ge \frac{\frac{1}{x^3}}{2+\frac{1}{x^6}} $$
Thật vậy
$$ \frac{1+x^2}{2(x^4+x^2+1)}- \frac{\frac{1}{x^3}}{2+\frac{1}{x^6}}=\frac{(2x^6+2x^5+4x^4+4x^3+4x^2+2x+1)(x-1)^2}{2(x^2+x+1)(x^2-x+1)(2x^6+1)} \ge 0 $$
Chọn $ \displaystyle x=\frac{1}{\sqrt[3]{a}} > 0 $ , có
$$ \frac{a}{2+a^2} \le \frac{1+a^{-\frac{2}{3}}}{2(1+a^{-\frac{2}{3}}+a^{-\frac{4}{3}})} $$
Tương tự cho $ \displaystyle b,c $ , sau cùng thu được
$$ \sum \frac{a}{2+a^2} \le \sum \frac{1+a^{-\frac{2}{3}}}{2(1+a^{-\frac{2}{3}}+a^{-\frac{4}{3}})} $$
Tức là chỉ cần chứng minh
$$ \sum \frac{1+a^{-\frac{2}{3}}}{(1+a^{-\frac{2}{3}}+a^{-\frac{4}{3}})} \le 2 $$
là kết thúc bài toán .
Đặt $$ \displaystyle (a^{-\frac{1}{3}},b^{-\frac{1}{3}},c^{-\frac{1}{3}} )=(x,y,z) $$
Có $ \displaystyle x,y,z > 0 \ ; \ xyz=1 $ , cần chứng minh
$$ \sum \frac{x^2+1}{x^4+x^2+1} \le 2 $$
Đó là một kết quả quen thuộc .
Tức là có điều phải chứng minh .
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn