D
demon_tg
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
I.BĐT schur :
@Cho các số a,b,c,r là các số thực dương bất kì, chứng minh:
[tex]a^r.(a-b)(a-c)+b^r.(b-c)(b-a)+c^r.(c-a)(c-b)\geq 0 (1)[/tex]
@Chứng minh:
Không mất tính tổng quát, giả sử [tex]a\geq b\geq c >0[/tex]
Khi đó:
[tex]a^r\geq b^r\Rightarrow a^r.(a-b)(a-c)\geq b^r.(a-b)(b-c)[/tex]
[tex]\Rightarrow a^r.(a-b)(a-c) + b^r.(b-a)(b-c)\geq 0[/tex]
Mặt khác: [tex]c^r.(c-a)(c-b)\geq 0[/tex]
nên [tex]a^r.(a-b)(a-c)+b^r.(b-c)(b-a)+c^r.(c-a)(c-b)\geq 0 [/tex]
(đpcm) Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c[/tex]
II.Hệ quả:
Nếu r=1 thì [tex]a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)\geq 0 (2)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq a^2.b+a.b^2+b^2.c+bc^2+c^2.a+c.a^2[/tex] (3)
Hay [tex](a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\leq abc (4)[/tex]
Hay [tex]4(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^3+9abc (5)[/tex]
(chú ý ta có thể phát triển bất đẳng thức khi t=2 nhưng khi đó bdt cần chứng minh rất khó ít động tới)
III.VD:
Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=1,chứng minh:
[tex]0\leq xy+yz+zx-2xyz\leq \frac{7}{27}[/tex]
Bài làm:
[tex]xy+yz+zx-2xyz=(x+y+z)(xy+yz+zx)-2xyz=x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+xyz\geq 0[/tex]
[tex]xy+yz+zx-2xyz\leq \frac{7}{27}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x+y+z)(xy+yz+zx)-2xyz\leq \frac{7}{27} (x+y+z)^3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 7(x^3+y^3+z^3)+15xyz\geq 6(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2[/tex])
theo(3), ta được: [tex]x^3+y^3+z^3\geq 3xyz[/tex]
theo bđt cô-si,ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]
@Cho các số a,b,c,r là các số thực dương bất kì, chứng minh:
[tex]a^r.(a-b)(a-c)+b^r.(b-c)(b-a)+c^r.(c-a)(c-b)\geq 0 (1)[/tex]
@Chứng minh:
Không mất tính tổng quát, giả sử [tex]a\geq b\geq c >0[/tex]
Khi đó:
[tex]a^r\geq b^r\Rightarrow a^r.(a-b)(a-c)\geq b^r.(a-b)(b-c)[/tex]
[tex]\Rightarrow a^r.(a-b)(a-c) + b^r.(b-a)(b-c)\geq 0[/tex]
Mặt khác: [tex]c^r.(c-a)(c-b)\geq 0[/tex]
nên [tex]a^r.(a-b)(a-c)+b^r.(b-c)(b-a)+c^r.(c-a)(c-b)\geq 0 [/tex]
(đpcm) Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c[/tex]
II.Hệ quả:
Nếu r=1 thì [tex]a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)\geq 0 (2)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq a^2.b+a.b^2+b^2.c+bc^2+c^2.a+c.a^2[/tex] (3)
Hay [tex](a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\leq abc (4)[/tex]
Hay [tex]4(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^3+9abc (5)[/tex]
(chú ý ta có thể phát triển bất đẳng thức khi t=2 nhưng khi đó bdt cần chứng minh rất khó ít động tới)
III.VD:
Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=1,chứng minh:
[tex]0\leq xy+yz+zx-2xyz\leq \frac{7}{27}[/tex]
Bài làm:
[tex]xy+yz+zx-2xyz=(x+y+z)(xy+yz+zx)-2xyz=x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+xyz\geq 0[/tex]
[tex]xy+yz+zx-2xyz\leq \frac{7}{27}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x+y+z)(xy+yz+zx)-2xyz\leq \frac{7}{27} (x+y+z)^3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 7(x^3+y^3+z^3)+15xyz\geq 6(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2[/tex])
theo(3), ta được: [tex]x^3+y^3+z^3\geq 3xyz[/tex]
theo bđt cô-si,ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]
Last edited by a moderator:
